Exp_Mat11_Alu

9 Los números reales con la multiplicación y el elemento neutro 1 ( R , · , 1 ) cumplen las propiedades que se muestran en la tabla 2. Vocabulario académico El álgebra es el campo de las matemáticas encargada del estudio de las operaciones definidas sobre un conjunto. ¿En la frase anterior se usó la palabra campo con el mismo significado que en el desarrollo del tema? ¿Por qué en los números reales son válidas las siguientes propiedades (cancelativas)? a. Si a + c = b + c , entonces a = b . b. Si a · c = b · c , entonces a = b , siempre que c ≠ 0. Ahora es tu turno Ejemplo Veamos que para a , b ∈ R hay una solución a la ecuación a + x = b . Solución Tomemos x = b + (− a ), que es un número real por las propiedades del opuesto y la clausura de la adición. Veamos que a + x = b a + x = a + ( b + (− a )) Por definición de x . = a + ((− a ) + b ) Por propiedad conmutativa. = ( a + (− a )) + b Por propiedad asociativa. = 0 + b Por propiedad del opuesto. = b Por propiedad modulativa. Propiedad Multiplicación Ejemplo Clausurativa Para cualquier elección de a , b y c ∈ R, a · b = c ∈ R. ,3 1 - ∈ R , y 1 3 $ - ∈ R . Conmutativa Para todo par de números reales a y b , se tiene que a · b = b · a. 3 2 5 1 5 1 3 2 – – = a a a a k k k k Asociativa El orden en que se asocian los factores no altera el producto, es decir, para a , b y c ∈ R , se tiene que ( a · b ) · c = a · ( b · c ) . e e 2 2 r r = ] ^ g h Modulativa 1 ∈ R se caracteriza porque para todo a ∈ R , a · 1 = 1 · a = a. 2 1 1 2 1 $ - = - b l Invertiva Para cada a ∈ R , a ≠ 0, hay una única solución de a · x = 1. Esta solución se denota x = a −1 o x a 1 = . Es decir, para cada a ∈ R , con a ≠ 0, existe a 1 tal que a a 1 1 $ = . 4 3 3 4 1 = a k Tabla 2 La multiplicación se relaciona con la adición mediante la propiedad distributiva ( ver tabla 3). Propiedad Multiplicación respecto a la adición Ejemplo Distributiva La multiplicación se distribuye respecto a la adición: para a , b y c ∈ R se tiene que a · ( b + c ) = a · b + a · c . ( , ) ( ) ( , ) 3 5 2 0 33 3 5 2 3 5 0 33 + = + Tabla 3 Dado que ( R , +, · , 0, 1) satisface las propiedades de las tablas 1 a 3, se dice que R tiene una estructura de campo . Estas propiedades se usan en la solución de ecuaciones. Una representación habitual de los números reales es como un conjunto de expansiones decimales. En esta representación se distingue al conjunto de los números racionales ( Q ) como el conjunto formado por los números reales de expansión finita o aquellos de expansión inifinita periódica. De las propiedades de campo de los números se derivan otras propiedades.