Exp_Mat11_Alu

8 Tema 1 Componente numérico-variacional Números reales Sistema de los números reales y sus propiedades En un concurso de quién alcanza a saltar la mayor altura, Daniela alcanza una marca de 3,2 m. Si estando de pie Daniela toca una marca que se encuentra a 2,40 m, ¿qué distancia salta Daniela? Para saber la distancia que alcanza Daniela, se puede plantear la ecuación 2,4 + x = 3,2 m, que tiene por solución x = 0,8 m = 80 cm; es decir, Daniela logra levantarse del suelo 80 cm. A diario, inconscientemente, se usan las propiedades de los números reales al calcular sumas o productos; en otras ocasiones, se efectúan mediciones de alta precisión, y se utilizan números racionales para aproximar el número real que representa la medida. Este tema se centrará en las propiedades de los números reales, las cuales permiten el planteamiento y resolución de ecuaciones. Propiedades de campo La adición y la multiplicación son ejemplos de operaciones binarias , es decir, por medio de cada una de estas se conforma una correspondencia (en este caso, suma o producto) entre cada pareja de números reales, a y b y otro número real c (resultado). Los números reales con su operación de adición y el elemento 0, terna denotada ( R , +, 0), cumplen las propiedades que muestra la tabla 1. Halla el resultado de cada operación. a. (2 + 4) − (1 · 8) b. (2 + ( 4 −1)) · 8 c. ((2 · 3 ) + 1) − 2 d. 2 · ((3 + 1 ) − 2) Propiedad Adición Ejemplo Clausurativa La adición de dos números reales es un número real. Simbólicamente: Si a , b ∈ R , entonces a + b ∈ R . Como r es un número real y 2 es un número real, entonces R 2 ! r + . Conmutativa La suma de dos números reales es independiente del orden en el que se tomen los sumandos: Si a , b ∈ R , entonces a + b = b + a. 3 5 5 3 + = + Asociativa La suma de tres o más números reales se puede calcular agrupándolos de diferente manera. Si a , b , c ∈ R , ( a + b ) + c = a + ( b + c ). , , 0 5 5 4 2 0 5 5 4 2 + + = + + a a k k Modulativa El número 0 ∈ R se distingue porque para todo a ∈ R , a + 0 = 0 + a = a. 3 1 0 0 3 1 3 1 + = + = Invertiva Para cada a ∈ R , hay una única solución a la ecuación a + x = 0. Esta única solución se denota x = − a . Es decir, para cada a ∈ R existe − a tal que a + (− a ) = 0. La solución de x 5 4 0 + = es x 5 4 = - ] g . Tabla 1 Saberes previos