Exp_Mat11_Alu

70 Tema 16 Componente numérico-variacional Funciones Función logaritmo Un tipo especial de algas se usa para producir biocombustible. Las algas se conservan en un tanque, que después de t días está ocupado al ( ) % f t 1 20 0 5 100 , t $ = + . En el proceso de producción del biocombustible, se extrae el 90 % de las algas del tanque y se deja el 10 % restante para repoblarlo. ¿Cuánto tiempo se debe esperar para extraer las algas del tanque, si se quiere efectuar la cosecha cuando el tanque se encuentre al límite de su capacidad? Se requiere resolver la ecuación f ( t ) = 90: , 1 20 0 5 100 90 t $ + = Ecuación dada. 100 = 90 · ( 1 + 20 · 0,5 t  ) Se multiplica la ecuación por 1 + 20 · 0,5  t . , 9 10 1 20 0 5 t $ = + Se divide la ecuación entre 90. ,0 5 180 1 t = Se despeja 0,5 t . El número t que satisface la última ecuación se denota log t 180 1 ,0 5 = , y con la ayuda de una calculadora se encuentra que t ≈ 7,5. Es decir, las algas deben cosecharse cada 7 días y medio. Determina el valor de x en cada una de estas expresiones, para que se cumpla la igualdad. a. 4 x = 1 024 b. 5 3 = x c. x 3 = 343 Sean a y x números reales positivos y a ≠ 1. La función logaritmo de base a , denotada f ( x ) = log a x , se define mediante la equivalencia: log a x = y , si y solo si, a y = x. De acuerdo con la definición de la función logaritmo, log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener x . La expresión log a x se lee como: “logaritmo en base a de x ”. Ejemplo 1 log 5 125 es el exponente que debe llevar la base 5 para obtener 125. Dado que 5 3 = 125, log 5 125 = 3. Una forma de obtener la gráfica de la función logarítmica y = log a x es relacionando la función exponencial y la función logarítmica. Si la pareja ordenada ( u , v ) pertenece a la gráfica de y = log a x , entonces v = log a u , pero esta relación puede escribirse como u = a v . De este modo, la pareja ( v , u ) pertenece a la gráfica de la función y = a x . Por tanto, para graficar la función logarítmica de base a es suficiente graficar la función exponencial de base a y emplear la simetría con la recta y = x ( ver figura 1). Las propiedades de la función logarítmica se corresponden con las propiedades de la función exponencial. Llámese f ( x ) = log a ( x ) y g ( x ) = a x , estas dos funciones cumplen que: Figura 1 a. b. Saberes previos X Y –2 –2 –4 2 4 2 4 6 a >1 y = x g ( x ) = a x f ( x ) =log a x X Y –2 –2 –4 2 4 2 4 6 0 < a <1 f ( x ) =log a x y = x g ( x ) = a x