Exp_Mat11_Alu

69 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 9. La función exponencial f ( x ) = e x , con base e = 2,718281 …, se conoce como función exponencial natural y surge de manera natural en muchas aplicaciones de las matemáticas. a. Cuando el entero n toma valores mayores, entonces el valor de la expresión n 1 1 n + a k tiende al número de Euler e , es decir, cuando n tiende a 3 , entonces n e 1 1 n " + a k . Utiliza una calculadora para verificar esta proposición, y completa la tabla 1. n n 1 1 n + a k 10 2,59374 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 2,71828 Tabla 1 b. Grafica las funciones f ( x ) = e x y f ( x ) = e −x , tabulando algunos valores. Resolver problemas 10. Aplicación. La población proyectada, P , de una pequeña ciudad está dada por la expresión P ( t ) = 10 000 e   0,04 t , donde t es el número de años después de 2003. a. ¿Cuál era la población en el año 2003? b. ¿Cuál era la población proyectada para el año 2010? c. ¿Cuál es la población proyectada para el año 2050? 11. Aplicación. El capital acumulado, C , al invertir un monto de dinero P , durante n meses, a una tasa de interés, i , compuesto mensualmente está dado por la fórmula   C = P (1+ i ) n . Si se invierten $ 100 000 a una tasa de interés del 5 % compuesto mensualmente: a. ¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 6 meses? b. ¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 12 meses? c. Elabora una gráfica que describa el capital acumulado respecto al tiempo. Aplicación en Física El decaimiento radiactivo de un núcleo atómico es un proceso de desintegración del núcleo. El resultado es la emisión de radiación y la aparición de un nuevo núcleo. Los eventos de decaimiento se presentan en núcleos inestables, es decir, donde la proporción entre el número de protones y el número de neutrones no es óptima. Cuando la fuerza de interacción nuclear fuerte no puede mantener al núcleo unido, se presenta el decaimiento radiactivo. Actividad Un elemento radiactivo decae de modo que después de t años el número de miligramos presentes está dado por la expresión N ( t ) = 1 000 e −0,05 t  . a. ¿Cuántos miligramos había inicialmente? b. ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? c. ¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 años? ¿Y después de 100 años? Continúa en el Taller, pág. 303.