Exp_Mat11_Alu

67 Si consideramos funciones generales de la forma f ( x ) = ka x , tendremos funciones de la misma forma que las ya estudiadas con las siguientes características: • Si el valor de la base a está entre cero y uno, 0 < a < 1, entonces los valores de f ( x ) disminuyen a medida que los valores de x aumentan. • Si el valor de la base a es mayor que uno, a > 1, entonces los valores de f ( x ) aumentan a medida que los valores de x aumentan. • La función f interseca el eje Y en el valor k . Un tipo especial de función exponencial se conoce como f unción exponencial natural , en la cual la base es el número irracional e . Este número, cuya aproximación hasta las primeras cinco cifras decimales es e ≈ 2,71828, resulta especial, ya que en muchas aplicaciones aparece de forma natural. La función f ( x ) = e x ( ver figura 3) se utiliza ampliamente, y sus valores pueden calcularse con una calculadora. La mayoría de calculadoras tienen una tecla con el símbolo e x , que puede utilizarse para este fin. Herramientas para aprender Establecer relaciones Muchas de las propiedades de las funciones exponenciales se deducen de las leyes de los exponentes enteros. Mientras las leyes de exponentes enteros se derivan de realizar una operación un número finito de veces ( a n se interpreta como el producto de la base a , n veces), las propiedades de los exponentes de números reales se derivan de la continuidad de las funciones exponenciales. En general, se tiene: Para a , b > 0; x , t ∈ R y n ∈ Z + : 1. a x a t = a x + t 2. a a a x t t x = - 3. ( a x  ) t = a xt 4. ( ab ) x = a x  b x 5. b a b a x x x = b l 6. a 1 = a 7. a 0 =1, a ≠ 0 8. a a 1 x x = - 9. a a n n 1 = Ejemplo 2 Grafiquemos la función exponencial ( ) g x 2 1 x = a k . Solución Tabulamos algunos valores de la función g ( ver tabla 2). x –3 –2 –1 0 1 2 2 1 x b l 8 4 2 1 2 1 4 1 La gráfica de la función se muestra en la figura 2. De la tabla 2 y de la gráfica de la función podemos afirmar que: • Si x es un número negativo, entonces g ( x ) > 1. • Si x es un número positivo, entonces g ( x ) < 1. • Si x = 0, entonces g ( x ) = 1. • La función no tiene intersección con el eje X . • Los valores de la función se acercan a cero a medida que los valores de x se hacen mayores. Los valores de la función se hacen cada vez mayores cuando x toma valores cada vez menores. • La gráfica es una curva continua. • La función f  interseca el eje Y en 1. Figura 2 Figura 3 Traza, en un mismo plano cartesiano, las gráficas de las siguientes funciones exponenciales: f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 3 x , h ( x ) = e x . Ahora es tu turno Tabla 2 X Y –2 –4 2 2 4 4 6 8 X Y –2 –4 2 2 4 4 6 8