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66 Tema 15 Componente numérico-variacional Funciones Función exponencial Las funciones exponenciales, unas de las más importantes en matemáticas, son útiles para describir un gran número de comportamientos del mundo real. El crecimiento de poblaciones, el crecimiento del dinero invertido a una determinada tasa de interés, el tiempo que le toma a una persona aprender determinada tarea o el tiempo que una sustancia tarda en descomponerse son situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales. Determina si cada expresión es correcta o no. a. 2 3 = 3 2 b. (–2) 4 = –2 4 c. –3 3 = (–3) 3 La función definida por f ( x ) = a  x , donde a > 0, a ≠ 1, y el exponente x es cualquier número real, se denomina función exponencial de base a . Algunas propiedades de la función exponencial son: • Su dominio son todos los números reales. • El rango de la función son los números reales positivos, ya que al ser a > 0, todas las potencias de este valor serán mayores que cero, y pueden alcanzar cualquier valor positivo. Al trabajar con funciones exponenciales es necesario conocer sus propiedades, y el análisis de estas se hace a partir del estudio de sus gráficas. Las funciones de los ejemplos 1 y 2 describen algunas propiedades generales de las funciones de la forma f ( x ) = a x . Ejemplo 1 Grafiquemos la función exponencial f ( x ) = 2  x . Solución Construyamos una tabla de valores para la función f ( x ) = 2 x ( ver tabla 1). La gráfica de la función se muestra en la figura 1. De la tabla 1 y de la gráfica de la función podemos afirmar que: • Si x es un número negativo, entonces f ( x ) < 1. • Si x es un número positivo, entonces f ( x ) > 1. • Si x = 0, entonces f ( x ) = 1. • La función no tiene intersección con el eje X . • Los valores de la función se acercan a cero a medida que los valores de x se hacen negativos cada vez menores. Los valores de la función se hacen mayores cuando x toma valores cada vez mayores. • La gráfica es una curva continua, es decir, se puede trazar sin levantar el lápiz. Alerta No confundir la función exponencial f ( x ) = 2 x con la función cuadrática g ( x ) = x  2 , que tiene una base variable y un exponente constante. Figura 1 x –2 –1 0 1 2 3 2  x 4 1 2 1 1 2 4 8 Tabla 1 Saberes previos X Y –2 –4 2 2 4 4 6 8