Exp_Mat11_Alu

46 Tema 10 Componente numérico-variacional Funciones En un criadero de conejos, la población se comporta de acuerdo con la fórmula ( ) p t t t 1 1 000 2 = + + , donde t ≥ 0 es el tiempo medido en meses desde el comienzo de cada año. Se estudiará el comportamiento de p ( t ) para valores mayores de la variable temporal. Se observa que p ( t ) es el cociente de dos funciones lineales en la variable t . Como el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador, se puede realizar la división polinómica, a partir de la cual se obtiene que ( ) p t t 1 000 1 998 = - + . Cuanto mayor se hace el valor de t , más cercano a 0 se hace el valor de t 1 998 + , por lo que la diferencia que define a p ( t ) se aproxima cada vez más a 1 000. Esta tendencia puede confirmarse observando la gráfica de la función y = p ( t ) ( ver figura 1). Efectúa las operaciones, factoriza y simplifica cada expresión. a. x x x x 1 2 3 1 1 + + + + - b. x x x 1 2 5 1 7 - + - - Funciones racionales Para comprender ¿Cómo se comportan las funciones polinómicas y = P ( x ) para valores de x cada vez mayores? Respuesta Para valores cada vez mayores de la variable x , las funciones polinómicas toman valores que se alejan de toda recta horizontal. Si P ( x ) y Q ( x ) son funciones polinómicas, entonces la función ( ) ( ) ( ) R x Q x P x = , para Q ( x ) ≠ 0 se denomina función racional . El dominio de R ( x ) es el conjunto de todos los números reales, excepto los ceros del polinomio Q ( x ), es decir, Dom( R ) = { x ∈ R : Q ( x ) ≠ 0}. Ejemplo 1 Hallemos el dominio de las siguientes funciones racionales. a. ( ) P x x x x 5 6 1 2 - = + - b. ( ) x x x R 1 1 2 = + - Solución a. La función no está definida cuando x 2 − 5 x + 6 = 0, es decir, cuando x = 3 y x = 2. Entonces el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales, excepto el 2 y el 3, lo cual escribimos como: Dom( P ) = { x ∈ R : x ≠ 2 y x ≠ 3} o R − {2, 3}. b. La función no estaría definida para los valores en los cuales x  2 + 1 = 0, pero no hay ningún valor que pueda tomar x en los números reales que cumpla esta igualdad. Luego el dominio de esta función es R . Ejemplo 2 Tracemos la gráfica de la función racional ( ) r x x 1 = . Solución El dominio de r ( x ) es R − {0}. Por otra parte, la tabla 1 muestra que cuando x es muy cercano a cero, el valor de | r ( x ) | es mayor. Figura 1 Saberes previos 250 10 20 30 40 500 750 1 000 Y X