Exp_Mat11_Alu

43 Un uso importante de los polinomios es el ajuste de datos experimentales. A partir de unas pocas mediciones, es posible plantear un modelo polinómico que permita estimar valores próximos a los datos registrados. A un proceso de este tipo se le llama interpolación polinómica. Considera la función g ( x ) = x 3 − 2 x . a. Factoriza g . b. Halla las intersecciones de g con los ejes coordenados. c. Realiza un análisis de signo para g . d. Bosqueja la gráfica de g . Ahora es tu turno Ejemplo 2 Hallemos un polinomio de grado 3 que pase por los puntos que se muestran en la tabla 2. x 0 1 2 3 y 1 6 1 3 1 2 5 Solución Una forma de resolver el problema es tomar el polinomio p ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , con coeficientes desconocidos. Que p ( x ) pase por los puntos ( x , y ) de la tabla 2 significa que p (0) = 1,  ( ) p 1 6 1 = ,  ( ) p 2 3 1 = , y  ( ) p 3 2 5 = , lo cual conduce al sistema de ecuaciones: d d c b a d c b a d c b a 1 6 1 2 4 8 3 1 3 9 27 2 5 = + + + = + + + = + + + = Z [ \ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] La solución del sistema es d = 1, c = −1, b = 0 y a 6 1 = ; es decir, ( ) p x x x 1 6 1 3 = - + ( ver figura 3). Figura 3 Figura 2 Con el eje de las abscisas o eje X : resolvemos f  ( x ) = 0, es decir, x ( 1 − x )( 1 + x ) = 0. Las soluciones son x = 0, x = 1 y x = −1, llamadas x −intersectos o raíces. 3. Teniendo presente que el signo de un polinomio no cambia entre dos ceros consecutivos, para los demás valores de x , f  ( x ) será distinto de 0, y su signo quedará determinado por los factores x , 1 − x , 1 + x , como se muestran en la tabla 1. (− 3 , −1) (−1, 0) (0, 1) (1, 3 ) x − − + + 1 − x + + + − 1 + x − + + + x (1 − x )(1 + x ) + − + − Tabla 1 En la tabla 1, el signo (+) indica que la gráfica de la función es positiva, y el signo (−), que la gráfica es negativa. La gráfica de f ( x ) = x − x 3 se muestra en la figura 2. Tabla 2 –2 –1 –1 –2 1 1 2 2 Y X y = x – x 1 1 2 3 4 2 3 4 Y X