Exp_Mat11_Alu

42 Tema 9 Componente numérico-variacional Funciones Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son aquellas funciones definidas solo mediante adiciones, sustracciones y multiplicaciones, lo que facilita su evaluación. Algunos ejemplos de funciones polinómicas ya estudiadas son las funciones afines, f ( x ) = mx + b , cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado, o las funciones cuadráticas, f ( x ) = ax 2 + bx + c , cuya representación es un polinomio de segundo grado. Traza la representación gráfica de las siguientes funciones. a. f  ( x ) = 2 x − 4 b. g ( x ) = 3 c. h ( x ) = 2 x 2 Vocabulario académico Averigua la definición general de factor . Compárala con las nociones matemáticas de factor y sumando. ¿En qué se asemejan? Figura 1 Puesto que el valor de un polinomio puede calcularse para cualquier valor de x, y es también un número real, el dominio de cada función polinómica es el conjunto de los números reales, R . Si un número c es tal que P ( c ) = 0, entonces c es un cero o raíz del polinomio. En tal caso, x − c es un factor de P ( x ), y si x − c se repite m veces, se dirá que es un cero de multiplicidad m . Las funciones polinómicas más simples son los polinomios P ( x ) = x n . Las gráficas de estos polinomios, para algunos valores de n, se muestran en la figura 1. En las gráficas puede observarse que la forma de las funciones polinómicas P ( x ) = x n es una recta cuando n = 1; una curva similar a la de la parábola f  ( x ) = x  2 , cuando n es par, y una curva similar a la gráfica de la función f  ( x ) = x  3 , cuando n es impar. Sin embargo, a medida que el grado n aumenta, las gráficas de las funciones se vuelven más planas en valores cercanos a cero, y más inclinadas en otros valores. Al trazar la gráfica de un polinomio es importante considerar aspectos como el dominio, el rango, los valores en que la función corta los ejes X y Y, o el signo que tiene en diferentes intervalos, como se muestra en el ejemplo 1. Una función de la forma P ( x ) = a n x  n + a n −1 x  n −1 + … + a 1 x + a 0 , donde a n ≠ 0, es una función polinómica o polinomio . Los números reales a 0 , a 1 , … , a n se conocen como los coeficientes del polinomio; a 0 es el coeficiente constante (y punto de intersección con el eje Y ), y a n es el coeficiente de la mayor potencia o coeficiente principal ; n es un entero no negativo y corresponde al grado del polinomio. Ejemplo 1 Bosquejemos la gráfica de f  ( x ) = x − x  3 . Solución 1. Factorizamos: f ( x ) = x − x  3 = x (1 − x  2 ) = x (1 − x )(1 + x ). 2. Determinamos las intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje de las ordenadas o eje Y , calculamos f (0) = 0; entonces, el y −intersecto es 0. Saberes previos –2 –1 –1 –2 1 1 2 2 Y X y = x y = x y = x –1 –2 1 1 2 2 3 4 Y X y = x y = x