Exp_Mat11_Alu

41 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 16. Determina el rango y el valor mínimo o máximo de cada función, según el caso. Justifica tus respuestas. a. f ( x ) = x 2 − 3 x b. f ( x ) = 2 x 2 − 6 x c. ( ) f x x 2 9 2 = - 17. Demuestra que el vértice de una parábola de ecuación y = a ( x − h ) 2 + k está en el punto de coordenadas ( h , k ). ( Sugerencia : representa esta función cuadrática en la forma estándar, y luego aplica las fórmulas dadas para las coordenadas del vértice.) 18. Aplicación. La utilidad U ( x ) que recibe un fabricante por la producción de x unidades de un producto está determinada por la expresión U ( x ) = 30 x − 2 x 2 . ¿Cuál es el número de unidades x que debería producir para obtener una utilidad máxima? 19. Aplicación. El costo promedio por unidad al producir x unidades de un determinado artículo es: C ( x ) = 20 − 0,06 x + 0,0002 x 2 . ¿Qué número de unidades producidas minimizará el costo promedio? 20. Aplicación. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 15 m/s, su altura (en metros) después de t segundos está dada por y = 15 t − 5 t 2 . ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? 21. Aplicación. La efectividad de un comercial en la radio depende de cuántas veces lo escuche la persona. Después de una investigación, una agencia de publicidad determinó que si la efectividad del comercial E se mide en una escala de 0,0 a 5,0, entonces ( ) E x x x 180 3 1 2 = - + , donde x es el número de veces que una persona escucha el comercial. Para que un comercial en la radio tenga una efectividad máxima, ¿cuántas veces deberá escucharlo una persona? Aplicación en dibujo Las curvas de Bezier son un método matemático usado en programas de dibujo técnico e ilustración, para trazar curvas que conectan dos puntos, y controlar así su curvatura. Consideremos los puntos P 0 ( a , b ) y P 1 ( c , d ). Curvas lineales La forma más simple de trazar un camino que una a P 0 con P 1 es a través de un segmento. Para esto, los programas de ilustración definen los puntos Q t = (1 − t ) P 0 + tP 1 , para t ∈ [0, 1]. Más explícitamente, si x ( t ) y y ( t ) son las coordenadas de Q t  : x ( t ) = (1 − t ) a + tc. y ( t ) = (1 − t ) b + td. Se observa que Q 0 = P 0 y Q 1 = P 1. Curvas cuadráticas Se pueden trazar caminos entre P 0 y P 1 usando un punto auxiliar P 2 ( e , f ). La idea es considerar los puntos R t del segmento P 0 P 2 y los puntos S t del segmento P 2 P 1 y definir al punto Q t  , como aquel que está en una curva cuadrática que tiene tangente R t  S t ( ver figura 1). Si x ( t  ) y y ( t  ) son las coordenadas de Q t , necesariamente x ( t )  = (1 − t ) 2  a + 2 t (1 − t ) e + t 2  c , y y ( t ) = (1 − t ) 2  b + 2 t (1 − t ) f + t 2  d. Figura 1 Actividad Averigua el nombre de algunos programas de dibujo vectorial; elige uno y averigua cómo se trazan curvas de Bezier en la práctica. Continúa en el Taller, pág. 296. B P 2 P 1 P 0 R 0,25 S 0,25