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38 Tema 8 Componente numérico-variacional Funciones Funciones cuadráticas Cuando la editorial fija el precio de un libro en $ 80 000, puede vender 10 000 ejemplares. Por cada $ 1 000 de incremento en el precio, las ventas bajan 400 ejemplares. El precio de cada libro en función del número de ejemplares está dado por ( ) P x x 105 000 2 5 = - . Puesto que el ingreso es igual al producto del número de ejemplares y su precio, se tiene que ( ) I xP x x x 105000 2 5 2 = = - . Por tanto, el ingreso es una función cuadrática del número de ejemplares. El ancho y el largo de un rectángulo se encuentran en razón 3 : 2. Halla el área del rectángulo en función de: a. Su lado. b. Su ancho. Una función f es una función cuadrática en la variable x , si y solo si, f  ( x ) se puede escribir de la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde a , b y c son números reales y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola vertical . 1. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba ( ver figura 1a). Si a < 0, la parábola abre hacia abajo ( ver figura 1b). 2. El vértice es , a b f a b 2 2 - - a a kk . 3. Su intersección con el eje Y ocurre en el punto (0, c ). Cada parábola vertical es simétrica respecto a una recta vertical ( ver figura 1), llamada eje de simetría de la parábola. El eje de simetría no es parte de la parábola, pero es de gran utilidad en el momento de graficarla. Si a > 0, el vértice es el punto más bajo de la parábola, es decir, f   tiene un valor mínimo en ese punto ( ver figura 1a). Si a < 0, el vértice corresponde al valor máximo de f ( ver figura 1b). Los valores de x, donde f ( x ) = 0, se conocen como las raíces de la ecuación cuadrática o de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 y corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje X . Toda función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c puede escribirse en la forma estándar f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k , con h a b 2 = - y k f a b a ac b 2 4 4 2 = - = - a k , correspondientes a las coordenadas del vértice de la parábola. Si se considera la ecuación cuadrática en su forma estándar a x a b a ac b 2 4 4 0 2 2 + + - = a k y se despeja x, se obtiene que: • Si b 2 − 4 ac > 0, existen dos raíces reales distintas : x a b b ac 2 4 1 2 = - + - y x a b b ac 2 4 2 2 = - - - ( ver figura 2a). • Si b 2 − 4 ac = 0, hay una raíz real repetida x a b 2 = - ( ver figura 2b). Figura 1 a. b. a. b. Saberes previos Y V ( h, k ) c X x 2 x 1 x = b 2 a f ( x ) = ax 2 + bx + c a >0 y = 4 ac b 2 4 a Y V ( h, k ) c X y = 4 ac b 2 4 a x 2 x 1 f ( x ) = ax 2 + bx + c a <0 x = b 2 a Y V ( h, k ) X x 2 x 1 f ( x ) = ax 2 + bx + c b 2 4 ac >0 Y V ( h, k ) X f ( x ) = ax 2 + bx + c b 2 4 ac =0