Exp_Mat11_Alu

35 La ecuación general de la recta es de la forma ax + by = c . En este caso, si b = 0, la recta es vertical de ecuación x a c = . Si b ≠ 0 , entonces al despejar y obtenemos y b a x b c = - + , es decir, una recta de pendiente m b a = - . Ejemplo 2 Grafiquemos la función f ( x ) = 2 x + 1. Solución Teniendo presente que dos puntos determinan una única recta, solo es necesario graficar dos puntos y después trazar la recta que pasa por estos. Por ejemplo, podemos evaluar f en x = 0 y en x = 1 ( ver tabla 2), para obtener la gráfica de f ( ver figura 3). Para comprender ¿Cuál es el dominio de una función lineal? Respuesta Ya que en la expresión que define una función lineal ocurren operaciones de adición y multiplicación que están definidas para todo número real (no hay restricciones), su dominio es R . Para comprender ¿Qué relación hay entre las pendientes de dos rectas y = m 1 x + b 1 y y = m 2 x + b 2 si son a. paralelas? b. perpendiculares? Respuesta Dos rectas no verticales son a. paralelas , si y solo si, m 1 = m 2 . b. perpendiculares , si y solo si, m 1 · m 2 = −1. x 0 1 f ( x ) 1 3 La ecuación de una recta con pendiente m y punto de corte en el eje Y igual a b está dada por y = mx + b . Ejemplo 1 Determinemos la ecuación de la recta que pasa por A (−2, −3) y B (1, 3). Solución La pendiente de la recta es ( ) ( ) m x x y y 1 2 3 3 3 6 2 2 1 2 1 = - - = - - - - = = . Reemplazando m en la ecuación y = mx + b, obtenemos y = 2 x + b ; al reemplazar uno de los puntos dados, por ejemplo, (1, 3), tenemos 3 = 2(1) + b , y despejando b , obtenemos que b = 1. Entonces, la ecuación de la recta AB es y = 2 x + 1. Figura 3 Funciones lineales y afines Una función de la forma f ( x ) = mx se conoce como lineal , en la que m es su pendiente o razón de cambio de y respecto a x . Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen. Una función afín es una traslación de una función lineal. Las funciones afines tienen la forma f ( x ) = mx + b , con b ≠ 0; m es su pendiente, b es la ordenada del punto de intersección de su gráfica (una línea recta) y el eje Y . Una función lineal se caracteriza por satisfacer las siguientes condiciones de linealidad. Si a y b son números reales arbitrarios, entonces: 1.  f (0) = 0 . 2. f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ). 3. f ( k · x ) = k · f ( x ), donde k es cualquier constante. Aunque una función afín f ( x ) = mx + b, con b ≠ 0 es muy similar a la lineal f ( x ) = mx , esta no es lineal porque no satisface la linealidad; por ejemplo, f (0) = m · 0 + b = 0 + b = b ≠ 0. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (3, 4) y (2, 5). Ahora es tu turno Tabla 2 –1 –1 1 1 (0, 1) (1, 3) 2 3 4 f ( x ) = 2x + 1 2 3 Y X