Exp_Mat11_Alu

17 Considera la inecuación −3 x + 4 y ≤ 1. Verifica cuáles de los siguientes puntos la satisfacen: a. (−1, 0) b. (0, −7) c. (−1, −7) d. (−4, 4) Ahora es tu turno Herramientas para aprender Usar una representación gráfica Se sabe que las inecuaciones de la forma ax + by ≤ c tienen por solución uno de los semiplanos determinados por la recta ax + by = c. Si se dibuja la recta, puede determinarse el semiplano tomando un punto de muestra en uno de ellos y verificando si el punto cumple o no la desigualdad. Ejemplo 3 Resolvamos la inecuación 8 x + 4 y ≤ 12. Solución Observamos que la inecuación dada tiene dos variables; entonces, procedemos a despejar respecto a y . 8 x + 4 y ≤ 12 Expresión dada. 4 y ≤ 12 − 8 x Por la regla 2 para desigualdades. y ≤ 3 − 2 x Por la regla 3 para desigualdades. La recta y = 3 − 2 x separa los puntos del plano con coordenada y < 3 − 2 x (semiplano inferior), de aquellos con coordenada y > 3 − 2 x (semiplano superior). Por tanto, la solución es el semiplano que queda por debajo de la recta y = 3 − 2 x , con la recta y = 3 − 2 x , incluida ( ver figura 2). A diferencia de una ecuación, normalmente una inecuación posee infinitas soluciones. En el caso de las inecuaciones lineales en una variable, la solución es un intervalo. Cuando se trata con inecuaciones lineales en dos variables, la solución es un semiplano. Ejemplo 2 Resolvamos la desigualdad 2 x ≤ 4 x + 10. Solución 2 x ≤ 4 x + 10 Expresión dada. 2 x − 4 x ≤ 4 x + 10 − 4 x Por la regla 2 para desigualdades. − 2 x ≤ 10 Simplificamos. ( ) ( ) x 2 1 2 2 1 10 $ - - - Por la regla 4 para desigualdades. x ≥ −5 Simplificamos. En términos de intervalos, el conjunto solución es [−5, 3 ), cuya representación gráfica se muestra en la figura 1. Ejemplo 1 Veamos, a partir de las propiedades fundamentales del orden, que se cumple la regla 1. Solución De acuerdo con la definición de orden de los números reales, a ≤ b equivale a b − a ≥ 0; dado que ( b + c ) − ( a + c ) = b − a , tenemos que a + c ≤ b + c equivale a a ≤ b. Figura 1 Figura 2 –5 –4 –3 –2 –1 3 2 1 0 1 4 3 2 5 6 7 8 9 y > 3 – 2 x y ≤ 3 – 2 x 1 2 3 4 5 –4 –3 –1 –5 –2 X Y