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16 Tema 3 Componente numérico-variacional Números reales Inecuaciones lineales En su planta de fabricación, una empresa de alimentos produce alimentos deshidratados de alta durabilidad para emergencias. La capacidad máxima de producción de la planta es de 100 toneladas de alimentos por semana. El costo semanal de envío y almacenamiento de una tonelada de comida es $ 60 000. Como medida para equilibrar los gastos, el gerente decide que la última semana del mes el pago por almacenamiento no supere los $ 45 000 000. ¿Qué modelo matemático representa esta restricción? Si se denomina x a la cantidad de toneladas de comida por fabricar en la semana del recorte de producción, se sabe que el costo de almacenamiento es 60 x miles de pesos. Se trata de que esta cantidad no exceda los 45 000 miles de pesos, es decir, se quiere que 60 x < 45 000 Este tipo de expresiones se denominan inecuaciones. Representa con desigualdades los siguientes intervalos. a. (−2, 2) b. [−1, 3) c. (4, 10] d. [−3, 3] Para comprender ¿La desigualdad 1 < 2 es una inecuación? Respuesta Aunque de acuerdo con la definición de inecuación esta desigualdad no se considera una inecuación, sin embargo, { x ∈ R : 1 < 2 } = R , ya que la condición que define el conjunto es cierta, independientemente del valor de x . Una inecuación es una relación entre dos expresiones matemáticas en las que aparece por lo menos una variable, y está determinada por alguno de los símbolos <, >, ≤, o ≥. Una inecuación lineal es una inecuación en la que se compara un polinomio de grado 1, con otro de grado menor o igual que 1. Son ejemplos de inecuaciones lineales 2 x − 7 ≥ 3 y x + y ≤ 1. Resolver una inecuación implica determinar todos los valores que hacen verdadera la desigualdad. Para resolverlas, se emplean las propiedades de orden de los números reales. Reglas para desigualdades Independientemente de los valores de a , b y c, se cumple que: 1. a ≤ b equivale a a + c ≤ b + c. 2. a ≤ b equivale a a − c ≤ b − c. 3. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. 4. Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc. 5. 0 < a ≤ b , si y solo si, a b 1 1 0 2 $ . 6. Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d. Con las reglas 3 y 4 se debe tener especial cuidado: la 3 indica que al multiplicar ( o dividir ) cada lado de la desigualdad por un número positivo , el sentido de la desigualdad se mantiene ; la regla 4 establece que si se multiplica (o divide) cada lado de la desigualdad por un número negativo , entonces debe invertirse el sentido de la desigualdad. Saberes previos