Exp_Mat11_Alu

13 Los intervalos son subcojuntos de los números reales que se distinguen porque son cerrados bajo el orden; es decir, al tomar dos números de un intervalo, todo número entre estos también se encuentra en el intervalo. Los intervalos se clasifican según contengan sus extemos en: • Abiertos: aquellos en los que los valores de los extremos no pertenecen al conjunto. • Cerrados: aquellos en los que los valores de los extremos pertenecen al conjunto. • Semiabiertos o semicerrados: aquellos en los que uno de los extremos pertenece al conjunto y el otro no . Otra clasificación de los intervalos se da según sean acotados o no: • Acotados superiormente: hay un número real que es mayor que todos los números del intervalo. • Acotados inferiormente: hay un número real que es menor que todos los números del intervalo. • Acotados: son los intervalos acotados tanto superior como inferiormente. Recuérdese que la expresión x ≤ a significa que x es menor que a, o que x es igual a a ; luego si a , b son números reales, se pueden tener los tipos de intervalos que aparecen en la tabla 1. Vocabulario académico Explica en qué consiste la densidad como magnitud física. ¿Guarda alguna relación con la definición de densidad en matemáticas? ¿La unión de dos intervalos abiertos es un intervalo abierto? Ahora es tu turno Ejemplo 2 Veamos que si J es la intersección no vacía de los intervalos ( a , b ) y ( c , d ), entonces J es un intervalo abierto. Solución Sean J = ( a , b ) ∩ ( c , d ), u = máx { a , c } y v = mín { b , d }. J ⊂ ( u , v ) Si x ∈ J , a < x y c < x , luego u < x . Análogamente, x < v. ( u , v ) ⊂ J u < x implica a < x y c < x ; x < v implica que x < b y x < d . ( u , v ) = J J ⊂ ( u , v ) y ( u , v ) ⊂ J . Intervalo Tipo de intervalo Representación geométrica [ a , b ] = { x  :  a ≤ x ≤ b } Cerrado y acotado [ a , b ) = { x  :  a ≤ x < b } Cerrado a la izquierda y acotado ( a , b ] = { x  :  x < a ≤ b } Cerrado a la derecha y acotado ( a , b ) = { x  :  a < x < b } Abierto y acotado ( a , 3 ) = { x  :  x > a } Abierto y no acotado superiormente (− 3 , b ) = { x  :  x < b } Abierto y no acotado inferiormente [ a , 3 ) = { x  :  x ≥ a } Cerrado a la izquierda y no acotado superiormente (− 3 , b ] = { x  :  x ≤ b } Cerrado a la derecha y no acotado inferiormente Tabla 1 a b a b a b a b a b a b