Exp_Mat11_Alu

12 Tema 2 Componente numérico-variacional Números reales Orden en los números reales Camilo compra, para su almacén, 80 pares de zapatos a $ 48 500 el par. El precio del calzado se incrementa en 12 % por el pago de arriendo del local, el acarreo y otros gastos. ¿A qué precio debe vender Camilo el par de zapatos para obtener una ganancia de por lo menos el 15 % del valor invertido? La inversión de Camilo corresponde al 112 % del precio al que adquiere los zapatos más el 12 %, de los otros gastos. Para obtener una ganancia del 15 % del valor invertido, Camilo debe vender cada par de zapatos al 115 % del 112 % del precio al que compró los zapatos, es decir, a 1,15 · ( 1,12 · 48 500 ) = $ 62 468. Esta expresión ayuda a resolver el problema, porque cuanto mayor es el precio de venta, mayor es la ganancia por par de zapatos vendidos; el precio de venta debería ser por lo menos $ 62 468. Lo último también puede expresarse diciendo: “el precio de venta pertenece al intervalo [62 468, 3 )”. El orden de los números reales puede referirse al conjunto de reales positivos R + ; los reales positivos cumplen las siguientes propiedades fundamentales. Clausura: si a , b ∈ R  + , la suma a + b y el producto a · b también son elementos de R  + ; es decir, R  + es cerrado para la adición y la multiplicación. Tricotomía: si x es un número real, x satisface una y solo una de las siguientes opciones: • x ∈ R  + ; • x = 0; • − x ∈ R  + . Esto equivale a decir que a ∈ R + , si a > 0. Así, las propiedades de R  + se traducen como: • Si 0 < a , b , entonces 0 < a + b y 0 < a · b . • Para todo x ∈ R , 0 < x , o bien 0 = x , o bien 0 < − x. Ordena de menor a mayor la siguiente lista de números racionales. 5 4 - , 2 3 , 2 1 - , 6 7 y 4 5 - . Para comprender ¿Cuáles de los siguientes órdenes son densos? a. El orden de N . b. El orden de R . Respuesta a. El orden de N no es denso, porque 0 < 1, y entre 0 y 1 no hay otro número natural. b. El orden de R es denso, porque siempre que a < c se tiene que b a c 2 = + , y cumple que a < b y b < c. Vocabulario académico ¿Has oído expresiones como “El deportista dio positivo en la prueba antidopaje”? ¿Este uso tiene alguna relación con su uso matemático? Para comprender ¿Qué significa que un orden sea denso ? Respuesta Un orden < definido en un conjunto es denso, si cada vez que a < c , existe b, tal que a < b y b < c . Ejemplo 1 Demostremos que para todo x ≠ 0, x 2 > 0. Solución 0 < x o 0 < − x Por tricotomía del orden <. x · x > 0 o (− x ) · (− x ) > 0 Por clausura de R  + respecto a la adición y a la multiplicación. x  2 > 0 Porque, (− x ) (− x ) = x · x = x 2 . Sean a y b números reales; se dice que « a es menor que b » ( a < b ), si b − a > 0. Saberes previos