Exp_Mat10_Alu

9 Ejemplo 2 a. 5 2 tiene expansión decimal finita: , . 5 2 10 0 4 4 = = b. 9 5 tiene expresión decimal infinita periódica: , , 9 5 0 555 0 5 f = = . Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Justifica tus respuestas. a. 2 2 b. 3 3 Ahora es tu turno Dato histórico En el siglo VII a. C., los griegos descubrieron magnitudes irracionales al comparar la diagonal y el lado de un cuadrado o la diagonal y el lado de un pentágono regular. Los números irracionales se representaban geométricamente con segmentos. Entre los siglos V y XV, los indios inventaron el sistema de numeración actual y comenzaron a operar los irracionales de forma semejante que los racionales. Vocabulario académico Usamos el término irracional para hablar de los números que no representan razones de enteros. ¿Conoces algún otro significado para este término? La multiplicación en el conjunto de los números racionales cumple, además, que todo número racional distinto de cero posee inverso multiplicativo; es decir, que las ecuaciones de la forma , b a x 1 = donde b ≠ 0, poseen solución, y esta es . x a b = Al racional a b se le denomina el inverso multiplicativo o recíproco de , b a en otras palabras: . b a a b 1 $ = Los números racionales admiten representaciones con expresiones decimales finitas o infinitas periódicas . Las operaciones de adición y multiplicación en Q se definen a partir de las operaciones entre los enteros , b a y se tiene que: b a n m bn an bm + = + y que b a n m bn am $ = . En el conjunto de los números racionales las operaciones de adición ( + ) y multiplicación ( · ), cumplen las propiedades: clausurativa, asociativa, conmutativa, modulativa y distributiva. El conjunto de los números racionales cuenta con una relación de orden ( < ) que, al igual que en el conjunto de los enteros, ocurre cuando dados dos números racionales q p y d c , la relación q p d c < indica que la diferencia d c q p - es un racional positivo (cociente de dos enteros positivos). En otras palabras q p está a la izquierda de d c en la recta numérica. Las ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a , b ∈ Z y a ≠ 0 siempre tienen solución en Q . Esta solución es . x a b = - El conjunto de los números irracionales Las expresiones decimales infinitas no periódicas representan los números conocidos como irracionales . Estos números no pueden escribirse como el cociente de dos números enteros. Son ejemplos de números irracionales: ,3 14159 f r = , 3 1 732050807 f = , 2 1 414213 f = En general, las raíces cuadradas de los números primos son números irracionales. También son irracionales estos números: 2 1 5 + , llamado número áureo . 2 2 , denominado el número de Gelfond . e = 2,718281. . . , llamado número de Euler .