Exp_Mat10_Alu

16 Tema 3 Componente numérico-variacional Números reales Densidad y noción de sucesión Densidad Un automóvil que se desplaza sobre una carretera se aproxima a un peaje. Inicialmente, se encuentra a 1 000 m de distancia del peaje pero antes de llegar a este punto el automóvil deberá recorrer 500 m; antes de recorrer los 500 m, el automóvil debe recorrer 250 m; y antes de recorrer los 250 m debe recorrer 125 m. Según este razonamiento, el automóvil nunca llega al peaje, porque siempre hay una distancia previa que recorrer. ¿Cómo se explica esta situación? La situación expuesta involucra una importante propiedad del orden de los números racionales llamada densidad . El orden de los números reales también la satisface. Ordena de menor a mayor el siguiente conjunto de números reales: , , , , , , , , , , , e 5 1 3 1 2 3 3 45 11 0 4 5 4 2 2 r r - - - - ' 1 El orden de los números reales es denso ; es decir: dados dos números reales diferentes, hay un número real que se encuentra entre los dos. Ejemplo 1 Hay una infinidad de números entre 2 y 3 . Para hallar uno sin necesidad de usar una calculadora observamos que , 2 3 < luego 2 2 2 3 3 < < + . Vocabulario académico Busca en el diccionario el significado de la palabra densidad y compáralo con el término en matemáticas. Para comprender ¿El orden en los números naturales es un orden denso? Respuesta No . Por ejemplo, entre 0 y 1 no hay ningún número natural. Tanto en los números racionales como en los reales la densidad se puede demostrar usando el promedio de los números ( ver figura 1). Figura 1 Noción de sucesión Según la situación de comienzo de tema, vemos que se enfrenta la experiencia que dice que el automóvil llegará eventualmente al peaje y el modelo con que representamos el movimiento. La experiencia indica que el automóvil tarda un tiempo t 0 = T en llegar al peaje; para recorrer los 500 m previos deberá invertir un tiempo t 1 , para recorrer los 250 m previos el auto tomará un tiempo t 2 , para recorrer los 125 m previos el automóvil tomará un tiempo t 3 , y así sucesivamente. Para facilitar la comprensión se puede suponer que el automóvil tiene velocidad constante de 60 km/h, es decir, 1 km/min, con lo cual: , , , t t t t t t 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 3 2 3 = = = = = = min, y en general t 2 1 n n = min, n ∈ N . Se nota que a cada número natural n le corresponde un número real , t n que mide el tiempo que toma el automóvil en recorrer un tramo de x 2 1000 n n = metros. Saberes previos a b a + b 2