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19 Ejemplo 1 ¿Todo número natural es un número entero? ¿Todo número entero es un número natural? Solución Del diagrama de Venn de la figura 1, tenemos que el conjunto N está contenido en el conjunto Z , es decir, N ⊂ Z . Por tanto, cualquier número natural es a su vez un número entero. Por otro lado, no todo número entero es un número natural. Por ejemplo, –4 pertenece al conjunto de los números enteros, pero no pertenece al conjunto de los números naturales. Ejemplo 2 ¿Todo número entero es un número racional? ¿Todo número racional es un número entero? Solución Cada número entero se puede expresar como una fracción. Por ejemplo, –3 = 1 3 - , es decir, Z está contenido en Q . Por otro lado, no todo número racional es un número entero. Por ejemplo, 3 4 = 1,3 pertenece al conjunto de los números racionales, pero no al conjunto de los números enteros. Ejemplo 3 ¿Todo número natural es un número racional? ¿Todo número racional es un número natural? Solución N está contenido en Z y Z está contenido en Q , entonces, por la propiedad transitiva de la contenencia, N está contenido en Q . Simbólicamente, N ⊂ Z y Z ⊂ Q , entonces, N ⊂ Q . Por otro lado, no todo número racional es un número natural. Por ejemplo, 2 5 = 2,5 pertenece al conjunto de los números racionales, pero no al conjunto de los números naturales. Ejemplo 4 Ningún número racional es un número irracional y viceversa, porque los conjuntos de los números racionales e irracionales son disjuntos . Esto significa que no tienen elementos en común, por lo que su intersección es vacía. Además, todo número natural, entero, racional e irracional es un número real por la definición del conjunto de los números reales. ¿Por qué las fracciones propias (numerador menor que el denominador) se localizan en la recta numérica entre –1 y 1, y las fracciones impropias (numerador mayor que el denominador) se localizan en la recta numérica a la izquierda de –1 y a la derecha de 1? Escribe algunos ejemplos para justificar tu respuesta. Ahora es tu turno Dato histórico La consolidación de los diferentes conjuntos numéricos no ha sido un proceso rápido. Desde la prehistoria, tribus primitivas utilizaban el lenguaje corporal y los objetos a su alrededor para comunicar cantidades. Posteriormente, diversas culturas como la babilónica, egipcia, india, entre otras, con su noción de cantidad y uso en diferentes actividades comerciales, culturales y sociales, fueron incorporando elementos a lo que hoy conocemos como conjuntos numéricos.