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15 Representación de los números irracionales en la recta numérica Los números racionales no completan la recta numérica. Esta se completa con los números irracionales. Los números enteros y racionales se pueden ubicar fácilmente en la recta. En el caso de los irracionales, construiremos triángulos rectángulos, cuya hipotenusa corresponde al número irracional. Así, con la ayuda del teorema de Pitágoras y un compás, obtendremos la ubicación de los irracionales. Con esta idea en mente, ubiquemos en la recta numérica ,2 3 y .4 1. Trazamos una recta numérica y una recta perpendicular a esta por el punto 1. Sobre esta hacemos una marca a una unidad de distancia del punto 1. Unimos con una línea el punto 0 con el punto que acabamos de marcar en la recta vertical; así se determina un triángulo rectángulo de catetos 1 unidad. 2. Con centro en el punto 0 y abertura del compás igual a la hipotenusa del triángulo formado, trazamos un arco que interseque la recta numérica en los números positivos. Esta intersección corresponde a la ubicación de 2 , ya que por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa de este triángulo tiene longitud 2 . Dato histórico En el siglo VII a. de C., los griegos descubrieron las magnitudes irracionales y su manejo fue geométrico. Los indios, entre los siglos V y XV, inventaron el sistema de numeración actual e introdujeron los números negativos. También, comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales, sin representarlos geométricamente. Si n es un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces, n es un número irracional . Consulta las características de los siguientes números irracionales: a. r (pi) b. { (phi): número áureo o de oro c. e : número de Euler Ahora es tu turno Para comprender ¿ 2 , 3 , 5 , 11 y 13 son números racionales? Respuesta No. Son números irracionales. Las raíces cuadradas de números primos son irracionales. Dato histórico El matemático alemán Johann Heinrich Lambert probó en 1766 que r es irracional. Figura 3 Figura 4 3. Para ubicar 3 , construimos de manera equivalente a la anterior el triángulo rectángulo de catetos 2 unidades y 1 unidad. La hipotenusa h de este triángulo mide 3 , porque h 2 = 2 2 ^ h + 1 2 , es decir, h 2 = 3, por tanto, h = 3 . 4. En el caso de 4 , tenemos que 4 = 2 2 . Así, la ubicación de 4 es 2, es decir, 4 es un número cuadrado perfecto y no es irracional. 0 1 2 2 2 2 1 0 2 3 3