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14 Tema 2 Componente numérico-variacional Sistema de los números reales Números irracionales Figura 2 En un pueblo debe construirse una glorieta con centro en el museo y que pase por el hospital. Además, debe ubicarse en el cruce de dos carreteras. Una de estas va de sur a norte y la otra de oriente a occidente. A 1 km del museo, hacia el oriente, se encuentra la iglesia I  y desde allí, 1 km hacia el norte, se encuentra el hospital H . Si se instalará un peaje P como se muestra en la figura 1, ¿cuál es la distancia entre el nuevo peaje y el museo? Debemos hallar m MP . Observemos que MP es un radio de la circunferencia con centro en M , por tanto, tiene la misma longitud que el radio MH . Consideremos que esa longitud es r . MH también es la hipotenusa del triángulo rectángulo MIH , en donde MI y HI son los catetos de longitud 1 km. Usando el teorema de Pitágoras en ∆ MIH , tenemos que r 2 = (1 km) 2 + (1 km) 2 , es decir, r 2 = 2 km 2 . Por tanto, r = 2 km. Así, m MH = 2 km y m MP = 2 km. ¿ 2 es un número racional? Para contestar esta pregunta, hallemos sus cifras decimales utilizando Excel. Usemos la función Raíz y en la opción Posiciones decimales , en Número de Formato de celda , escribimos hasta 13 (que es la cantidad mayor de cifras decimales diferentes que se puede calcular de un número como se muestra en la figura 2). Podemos observar en la tabla 1 las aproximaciones de 2 con 3, 6, 9, 12 y 13 cifras decimales. Número de cifras decimales Aproximación de 2 3 1,414 6 1,414213 9 1,414213562 12 1,414213562373 13 1,4142135623731 Tabla 1 Si continuáramos calculando la cantidad de cifras decimales, observaríamos que en cada aproximación resultan nuevas cifras decimales no periódicas. Así, 2 no es un número racional, porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas . A este tipo de números, se les denomina irracionales . Clasifica los siguientes números de acuerdo con su parte decimal: a. 4,97 b. –3,656565… c. 9,876016016016… d. –2,236067978… Para comprender ¿Qué expresa el teorema de Pitágoras ? Respuesta En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Un número irracional es un número con infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, son aquellos números que no pueden expresarse de la forma b a , donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El conjunto de los números irracionales se simboliza I . Figura 1 Saberes previos M P I H 1 km 1 km