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90 Tema 21 Componente numérico-variacional Números racionales Potenciación de números racionales Nicolás compró una pizza y empezó a dividirla en partes iguales para compartirla con sus amigos. Para ello, primero la cortó por la mitad; cada mitad la volvió a cortar por la mitad, luego cada mitad de la mitad la volvió a cortar por la mitad y así obtuvo las porciones que necesitaba ( ver figura 1). Veamos en la tabla 1 los cambios en el tamaño de las porciones de la pizza a medida que aumenta el número de cortes. Número de cortes 0 1 2 3 Tamaño de cada porción comparado con la pizza completa 1 2 1 4 1 8 1 Tabla 1 Observemos que el tamaño de cada porción de pizza se obtiene multiplicando el tamaño de la porción del corte anterior por 2 1 ; con esta regularidad, podemos construir una nueva tabla ( ver tabla 2). Número de cortes Tamaño de cada porción 0 1 2 1 0 = a k 1 2 1 2 1 1 = a k 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 # = = a k 3 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 # # = = a k Tabla 2 Al aumentar el número de cortes el número de porciones aumenta, pero el tamaño de cada una disminuye. a. Una caja cúbica tiene 13 cm de arista. ¿Cuál es el volumen de la caja? b. Calcula las siguientes potencias. (–4) 2 = (–3) 4 = 3 4 = 2 5 = Ejemplo 1 Calculemos las siguientes potencias de números racionales: Potencia Solución 5 1 2 - a k 5 1 5 1 5 1 25 1 2 # - = - - = a a a k k k 3 2 5 - a k 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 243 32 5 # # # # - = - - - - - = - a a a a a a k k k k k k ,1 2 4 ^ h , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0736 4 # # # = = ^ h Tabla 3 Para comprender En la situación inicial, ¿cuál es el comportamiento del número de porciones en relación con cada corte? Respuesta El número de porciones se obtiene multiplicando el número de porciones del corte anterior por 2. En este caso, a medida que el número de cortes aumenta, el número de porciones se duplica obedeciendo a la secuencia 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , …, 2 n , siendo n el número de cortes realizados. Figura 1 Saberes previos