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48 Tema 11 Componente numérico-variacional Números enteros Radicación y logaritmación de números enteros Para una actividad de origami, el profesor de geometría solicitó a sus estudiantes hojas de colores cuadradas y con un área de 400 cm 2 cada una. Andrea, una de sus estudiantes, tiene una hoja rectangular que debe recortar para cumplir con las especificaciones de su profesor. Para ello, Andrea plantea la ecuación l × l = l  2 = 400 cm 2 , donde l representa la medida del lado del cuadrado. Ella debe hallar un número positivo que elevado al cuadrado dé como resultado 400. Dicho número es 20, porque 20 2 = 400. Así, cada lado de la hoja cuadrada debe medir 20 cm. Este proceso de hallar la base de una expresión de potenciación conociendo su exponente y la potencia se conoce como radicación . a. ¿Qué número entero elevado al cuadrado es igual a 144? b. Si la base es 4 y la potencia es 256, ¿cuál es el exponente? c. Halla la descomposición en factores primos de los números 1 024 y 343. La radicación es el proceso mediante el cual se obtiene la base de una potencia teniendo la potencia o resultado y el exponente. Para representarla se utiliza el símbolo de radical ( ). • Si n es impar b a n = , si y solo si, a b n = . • Si n es par b a n = , si y solo si, a b n = y b > 0. Ejemplo 1 Calculemos las siguientes raíces: a. 64 4 3 = , porque 4 3 = 64. b. 81 3 4 = , porque 3 3 = 81. c. 32 2 5 - = - , porque ( )2 32 5 - = - . d. 100 10 = , porque 10 2 = 100. Para comprender ¿La raíz cuadrada de 400 puede ser –20? Respuesta Sí. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y la otra negativa. Es decir, b a ! = , ya que ( a ) 2 = a × a = b y (– a ) 2 = (– a ) × (– a ) = b. De esta forma, 400 20 ! = , puesto que (20) 2 = 20 × 20 = 400 y (–20) 2 = (–20) × (–20) = 400. Para comprender ¿Es posible hallar 100 - en el conjunto de los números enteros? Respuesta No, porque no existe un número entero que elevado a la dos dé un número negativo. En este caso, tendríamos 10 2 = 100 o (–10) 2 = 100. En la radicación, identificamos los siguientes términos: b a n = En la situación inicial, decimos que 20 es la raíz cuadrada de 400 y se representa como 400 20 = . En este caso la cantidad subradical es 400 y el índice del radical es 2. Cuando el índice es 2 se omite al escribir la raíz. índice del radical raíz cantidad subradical Saberes previos