Exp_Mat06_Alu

59 Herramientas para aprender Ahora es tu turno Ejemplo 1 Hallemos el m. c. d. de 84, 60 y 72 usando los dos métodos. Solución Método 1. Por descomposición en factores primos 84 60 72 2 Los tres números son divisibles entre 2. 42 30 36 2 Los tres números son divisibles entre 2. 21 15 18 3 Los tres números son divisibles entre 3. 7 5 6 No hay un número primo que sea divisor de los tres números. Luego, el m. c. d. de (84, 60, 72) = 2 2 × 3 = 4 × 3 = 12. Método 2. Con conjuntos D (84) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7, 12 , 14, 21, 28, 42, 84} D (60) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 10, 12 , 15, 20, 30, 60} D (72) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72} Divisores comunes: { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } Entonces, el m. c. d. de (84, 60, 72) = 12. Comparar métodos En algunos casos, tener más de un método para hacer un cálculo u obtener un resultado permite verificar la respuesta obtenida aplicando los diferentes métodos, como se presenta en el ejemplo 1. Propiedades del máximo común divisor El máximo común divisor cumple las siguientes propiedades: Propiedad Ejemplo 1. El máximo común divisor de dos o más números primos entre sí es 1. m. c. d. (8, 9) = 1 2. Sean x , y ∈ N . Si x es múltiplo de y , entonces, m. c. d. ( x , y ) = y . m. c. d. (20, 4) = 4 3. El máximo común divisor de dos o más números es factor o divisor de cada uno de ellos. m. c. d. (4, 6) = 2 2 es factor de 4. 2 es factor de 6. Tabla 2 Ejemplo 2 Hallemos el máximo común divisor de los siguientes números a partir de su descomposición en factores primos: 30 = 2 × 3 × 5 y 75 = 3 × 5 2 = 3 × 5 × 5 Solución Los factores comunes son 3 y 5 . Luego, el m. c. d. de (30, 75) = 3 × 5 = 15. El máximo común divisor de dos o más números se puede calcular multiplicando los factores primos comunes con menor exponente. ¿Cuál es el máximo común divisor de las descomposiciones 7 2 × 11 3 y 2 × 7 × 13?