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58 Tema 15 Componente numérico-variacional Teoría de números Máximo común divisor Alerta Los estudiantes de grado sexto de un colegio son 30 niños y 24 niñas. Ellos deben formar grupos con el mayor número de integrantes posible, de tal manera que cada grupo sea de estudiantes del mismo sexo y tenga igual número de integrantes. ¿Cuántos grupos se formarán? Los niños pueden formar grupos de 1 , 2 , 3 , 5, 6 , 10, 15 o 30 integrantes. Las niñas pueden formar grupos de 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8, 12 o 24 integrantes. Observemos que los niños y las niñas se pueden organizar en grupos de 1, 2, 3 o 6. Ahora, como un grupo de 6 integrantes es el mayor posible, dividimos el número total de estudiantes que es 54 entre 6: 54 ÷ 6 = 9 grupos. Es decir, se podrán formar 9 grupos cada uno con 6 estudiantes del mismo sexo. El procedimiento que seguimos fue hallar los divisores comunes de 30 y 24, y elegir el mayor de ellos; en otras palabras, hallamos el máximo común divisor de 30 y 24. La representación en un diagrama de Venn de los datos aparece en la figura 1: a. ¿Qué número natural es múltiplo de todos los números? b. ¿Qué número natural es divisor de todos los números? Cuando se habla del máximo común divisor se deben tener mínimo dos números. No se puede hablar del máximo común divisor de un solo número. El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números. Para abreviar la expresión «máximo común divisor» escribimos m. c. d. Métodos para hallar el máximo común divisor Se tienen dos métodos para hallar el máximo común divisor de un grupo de números: Método 1. Por descomposición en factores primos M étodo 2. Con conjuntos 1.° Organizamos los números en columnas y los descomponemos al mismo tiempo en factores primos. 2.° Multiplicamos los divisores comunes de los números. 1.° Hallamos los divisores de cada número. 2.° Hallamos la intersección entre los conjuntos de divisores. 3.° Escogemos el mayor de los divisores comunes. Tabla 1 Figura 1 Saberes previos 5 15 4 1 2 3 6 (24) 24 8 12 10 30 D (30) D