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54 Tema 14 Componente numérico-variacional Teoría de números Mínimo común múltiplo Herramientas para aprender Dos ciclistas recorren un circuito. Un ciclista pasa frente al controlador cada 12 minutos y el otro cada 8 minutos. ¿Al cabo de cuánto tiempo coinciden los dos ciclistas frente al controlador? Escribe la lista de los números naturales del 1 al 25. Encierra con rojo los múltiplos de 2 y con azul los múltiplos de 3. Ten en cuenta que puede haber dos números con más de un color. a. ¿Qué números tienen un solo color? b. ¿Por qué hay números que tienen dos colores? Organicemos la información en tablas para analizar la situación. Ciclista 1 n.° de vueltas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo 12 24 36 48 60 72 84 96 108 Tabla 1 Ciclista 2 n.° de vueltas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo 8 16 24 32 40 48 56 64 72 Tabla 2 Elaborar tablas Organizar información en tablas puede ser útil para encontrar patrones, como en el caso de la situación de los ciclistas, en la que se establecen los múltiplos de los números dados. El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes mayores que 0. Para abreviar la expresión «mínimo común múltiplo», escribimos m. c. m. Se tienen dos métodos para hallar el mínimo común múltiplo de un grupo de números. Método 1. Por descomposición en factores primos Método 2. Con conjuntos 1.° Organizamos los números en dos columnas y al mismo tiempo los descomponemos en factores primos. 2.° Multiplicamos todos los factores primos que obtuvimos y el producto de ellos será el m. c. m. que buscamos. 1.° Hallamos el conjunto de los múltiplos de cada número. 2.° Escogemos el menor de los múltiplos comunes, diferente de cero. Tabla 3 Los números de las segundas filas de las tablas 1 y 2 son los múltiplos de 12 y de 8, respectivamente. El primer múltiplo común de 12 y de 8 es 24, tiempo en el cual los dos ciclistas coinciden frente al controlador. Esto vuelve a ocurrir a los 48, 72, . . . minutos. Si representamos en un diagrama de Venn los datos, tenemos la figura 1. Figura 1 Saberes previos 12 60 8 24 48 72 ... (8) 56 40 64 32 16 84 36 108 96 M (12) M