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46 Tema 11 Componente numérico-variacional Teoría de números Múltiplos y divisores de naturales Alerta Carlos instala baldosas en el piso de una habitación rectangular que tiene 3 m de ancho y 4 m de largo. Si las baldosas son cuadradas, de 50 cm de lado, ¿cuántas baldosas necesita para cubrir todo el piso? Podemos calcular el número de baldosas que cubren el piso de la habitación dividiendo sus dimensiones entre la longitud del lado de la baldosa. Ancho: 3 m ÷ 50 cm = 300 cm ÷ 50 cm = 6 Largo: 4 m ÷ 50 cm = 400 cm ÷ 50 cm = 8 Entonces, el número de baldosas necesario es 6 × 8 = 48 baldosas ( ver figura 1). De los cálculos efectuados, podemos observar que • 50 divide exactamente a 300 y 50 divide exactamente a 400. • 300 se obtiene multiplicando 50 × 6 y 400, multiplicando 50 × 8. En estas relaciones, usamos los conceptos de múltiplo y divisor . Realiza las divisiones y determina en cuáles el residuo es cero. a. 891 ÷ 7 c. 65 092 ÷ 4 b. 12 875 ÷ 5 d. 871 230 ÷ 29 Figura 1 Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen al multiplicar este número por los números naturales. Un divisor de un número es aquel que lo divide exactamente. El número 0 no es divisor de ningún número. Ejemplo Determinemos las relaciones entre los términos de una división y su multiplicación asociada. 63 = 7 × 9 Solución Como la división es exacta, podemos afirmar que • 63 es múltiplo de 7. • 63 es divisible entre 7. • 7 es divisor de 63. • 7 es factor de 63. Conjunto de múltiplos y conjunto de divisores Si a es un número natural, los elementos del conjunto de múltiplos de a , que representamos con M ( a ) , los hallamos multiplicando a por cada uno de los números naturales. Los elementos del conjunto de los divisores de un número a , representado con D ( a ) , los hallamos dividiendo a entre los números naturales menores que él, que lo dividen exactamente. Por ejemplo, el conjunto de los múltiplos de 24 es el siguiente: M ( 24 ) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, . . .} 24 × 0 24 × 3 24 × 6… Por ejemplo, el conjunto de los divisores de 24 es el siguiente: D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, que se obtienen de las divisiones 24 ÷ 24, 24 ÷ 12, 24 ÷ 8, 24 ÷ 6, 24 ÷ 4, 24 ÷ 3, 24 ÷ 2 y 24 ÷ 1. Completa las siguientes expresiones: • ____ × 7 = 91, entonces, ____ es múltiplo de 7 y de ____. • ____ y ____ son divisores de ____. • ____ es divisible entre ____ y entre ____. • ____ y ____ son factores de ____. Ahora es tu turno 63 0 7 9 Saberes previos 3 m 4 m