Construye Matemática 5 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 3 Competencias matemáticas Abordarás contenidos a lo largo del libro que te permitirán afianzar tus competencias. Regularidad, equivalencia y cambio Interpretarás y generalizarás patrones. Gestión de datos e incertidumbre Recopilarás y procesarás datos. 164 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Eje imaginario Eje real 1 1 3 3+2 i –3+2 i –3–2 i 3–2 i 5 –1–1 –5 –5 –3 –3 3 5 Eje imaginario a a+bi b Eje real Tema Losnúmeroscomplejos se representangráficamentecomopuntosocomovectores enel llamadoplanocomplejo. Plano complejo Todonúmerocomplejode la forma a + bi ,para a , b ∈ ℝ e i launidad imaginaria, se puede asociar a una pareja ordenada de números reales ( a ; b ), donde la primera coordenada representa la parte real, y la segunda, la parte imaginaria. Estableciendo asíuna correspondenciauno aunoentre losnúmeros complejos y lospuntosdelplano,determinamosel planocomplejo (vermargen). Ejemplo6 Representagráficamente los siguientesnúmeroscomplejos: a.3+2 i b.–3+2 i c.3–2 i d.–3–2 i Solución Ubicamos losnúmerosenelplanocomplejo. Módulo, conjugado y opuesto de un número complejo Dadoelnúmerocomplejo z=a+bi, sedefine: Su módulo como | z |= | a + bi |= a b 2 2 + . Su conjugado complejocomo z a bi = + = a – bi . Su opuesto como– z =– a – bi . Ejemplo7 Hallaelmódulo,elconjugadoyelopuestodelnúmerocomplejo5+12 i. Solución Númerocomplejo Módulo Conjugado Opuesto 5+12 i ( ) ( ) + = = 5 12 169 13 2 2 5–12 i –5–12 i 2 Representación gráfica de un número complejo Reto ¿Enqué tipodenúmeros complejos secumpleque suconjugadoes iguala su opuesto? 151 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Tronco de cono recto Área total ( A T ) Volumen ( V ) ( ) =π + + +   ' 2 2 A g r R r R T = π + + ⋅ '( ) 3 2 2 V h r R r R Ejemplo17 Calcula el área total de un tronco de cono recto cuya altura mide 24 cm y los diámetrosde susbasesmiden16y36cm. Solución Graficamosydeacuerdoa losdatos,obtenemos: r = DC = EB =8cmy R = AB =18cm Luego, AE = AB – EB =18–8=10cm Generatriz: g' = + = + = ( ) ( ) 24 10 676 2 2 2 2 DE AE → g’ =26 Calculamoselárea totaldel troncodecono: A T = π [26(18+8)+18 2 +8 2 ] → A T =1064 π =3342,65 Elárea totaldel troncodeconoes3342,65cm 2 . Ejemplo18 Los diámetros de las bases de un tronco de conomiden 30 y 66 cm. Calcula su volumen si lageneratrizmide30cm. Solución Calculamos laalturadel troncodecono: ( h ') 2 =30 2 –18 2 → h '=24cm Calculamoselvolumen: = π⋅ + + ⋅ 24(15 33 15 33) 3 2 2 V =14472 π =45442,08 cm 3 Elvolumendel troncodeconoes45442,08cm 3 . 1. Hallaelárea lateral,elárea totalyelvolumende unconocuyo radiomide16cm,y sugeneratriz, 34cm. 2. Los diámetros de las bases de un tronco de conomiden12y28cm.Calcula suvolumen si la generatrizmide17cm. 24cm A B C D E g’ 30cm 30cm 66cm h I 18 15 15 g I h I r R 24cm A B C D E g’ 30cm 30cm 66cm h I 18 15 15 g I h I r R 24cm A B C D E g’ 30cm 30cm 66cm h I 18 15 15 g I h I r R Alcortarunconoporunplanoparaleloa labase, seobtieneotroconomáspequeñoqueelanterior yun troncodecono.Eneste sedistinguen,como elementosprincipales, los radiosde lasbases ( r y R ), lageneratriz ( g ’)y laaltura ( h ’). Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas172-173. Traduce Unvaso tiene la formadeun troncodecono siendo los radiosde susbases3cmy 4cm, respectivamente,y su volumen,111 π cm 3 . ¿Cuáles laalturadelvaso? 72 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Tema Función real 6 Una función puede interpretarse como una “máquina”que toma como entrada un valor x yproduceuna salida f ( x ).Cada valordeentrada se corresponde conun valor, y solouno,de salida. Función,dominio y rango Una función esunacorrespondenciaentredosconjuntos talqueacadaelemen- todelconjunto inicial lecorrespondecomomáximounúnicovalordelconjunto final. • La variable independiente , x , la forman los valores del conjunto inicial que se fijan previamente. El dominio de una función es el conjunto de todos los valoresquepuede tomarestavariable; se representapor D ( f ). • La variabledependiente , y , la forman losvaloresdelconjunto finalque seob- tienenalaplicar la funcióna lavariable independiente.El rango eselconjunto de todos losvaloresquepuede tomarestavariable; se representapor R ( f ). Las funciones seexpresancomo y = f ( x ). Cuando losconjuntos inicialy final son subconjuntosdenúmeros reales, sediceque la función es real devariable real. Ejemplo14 Determinaeldominiode las siguientes funciones: a. f ( x )=2 x +1 b. = − + − ( ) 2 5 h x x x c. = − g x x ( ) 1 4 2 Solución a. Comonohay restricciónpara losvaloresde x entonces, D ( f )= ℝ . b. x –2≥0 ∧ 5– x ≥0 → 2≤ x ≤5;por tanto, D ( h )= [2;5] c. x 2 –4≠0 → x ≠±2; luego, D ( g )= ℝ – {–2;2} Ejemplo15 Sea la función f : ]–5;–1[ → ℝ / f ( x )=– x 2 –4 x +1.Hallael rangode f . Solución Completandocuadrados, f ( x )=–( x +2) 2 +5. Por dato, –5< x < –1 → −3< x + 2< 1 → 0≤ ( x + 2) 2 < 9 → −9<−( x + 2) 2 ≤ 0 → −4<−( x +2) 2 +5≤5,esdecir,–4< f ( x )≤5. Por tanto, R ( f )= ]–4;5]. 1. Determinaeldominioy rangode la función f : f = {(2;8), (3;1), (2; m 2 –1), (7;0), ( m ;2), (7;2 m + n )} 2. La función f se definemediante f ( x ) = mx + b , m <0, x ∈ [2;4].Si R ( f )= [ a ;2],halla a –2 m . Anota Importante Paradeterminareldominio considera lo siguiente: • Eldenominadordeuna funciónnopuede ser cero. • El radicandodeuna raíz de índiceparnopuede sernegativo. De ladefiniciónde función sedesprendeque,dada la función f , si ( a ; b ) ∈ f ∧ ( a ; c ) ∈ f ⇒ b = c 27 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Moda de datos agrupados ( Mo ) Siordenamos losdatosdemenoramayor, la moda , Mo , seráeldatoquemás se repite.Cuando losdatos son agrupados en varias claseso intervalos, lamoda se calculacon fórmula (vermargen). Ejemplo25 Enelcasodel restaurante, paracalcular lamoda,primeroubicamos laclasemodal. Estaes laclasequemayor frecuenciaabsoluta tiene.Ennuestrocasoes [125;130[. Solución N.°de platos N.°de días ( f i ) F i [125;130[ 9 9 [130;135[ 7 16 [135;140[ 5 21 [140;145[ 5 26 [145;150] 4 30 1. Lasnotasde40alumnos son las siguientes: 08 12 07 15 20 17 11 12 11 09 15 14 13 09 0917 18 18 20 05 17 11 09 06 05 17 18 16 16 0518 19 13 11 06 09 08 10 10 15 a. Haz una tabla de frecuencias en la que aparezcan5 intervalos, f i , F i , x i y f i ∙ x i . b. Calculae interpreta x , Me y Mo . 2. Unnutricionistadebedecidir la implementación deunprogramade alimentaciónpara alumnos de una sección. La tabla muestra el índice de masacorporal (IMC)deestosalumnos: IMC (kg/m 2 ) f i [12;15[ 23 [15;18[ 6 [18;21[ 3 [21;24[ 1 Si el peso promedio de la muestra no supera los 18,5 kg/m 2 , solicitará que se implemente el programa. ¿Se tomará taldecisión? 3. El staff deprofesoresde Lengua y Literatura de un colegio desea saber si el programa de Plan Lector ha funcionado para decidir la compra demás libros.Al averiguar la cantidadde libros leídos en un año escolar por una muestra de alumnos, seobtuvieron los siguientesdatos: N.°de libros leídos f i [0;2[ 8 [2;4[ 13 [4;6[ 11 [6;8[ 9 [8;10[ 7 [10;12] 2 a. ¿Cuál es el número de libros promedio leídos? b. ¿Quécantidadde libroshan leído frecuente- mente losalumnos? c. ¿Quénúmerode librosdividealgrupodeen- cuestadosendosgruposde igual tamaño? Calculamos lamodacon la fórmula: Mo Mo 125 9 0 9 0 9 7 5 125 9 11 5 129 ( ) ( ) ( ) = + − − + −      ⋅ = + ⋅ ≈ Elnúmerodeplatosdiariosque conmás frecuencia sevendees129platos. Anota Mo=L i + ( Δ 1 Δ 1 + Δ 2 ) ·A i L i : límite inferiorde laclase modal. Δ 1 :Diferenciaentre la frecuenciaabsolutade la clasemodaly la frecuencia de laclaseanterior. Δ 2 :Diferenciaentre la frecuenciaabsolutade la clasemodaly la frecuencia de laclaseposterior. A i :Amplitudde laclase modal. Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas26-27. Texto que motiva el estudio del tema Situación desarrollada que acompaña los saberes aprendidos Cantidad Desarrollarás tus nociones numéricas. Forma, movimiento y localización Desarrollarás tus nociones espaciales. Definición de saberes matemáticos Actividades que complementan el desarrollo del tema