Construye Matemática 4 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 3 Competencias matemáticas Abordarás contenidos a lo largo del libro que te permitirán afianzar tus competencias. Regularidad, equivalencia y cambio Interpretarás y generalizarás patrones. Gestión de datos e incertidumbre Recopilarás y procesarás datos. 16 Para practicar Anota Argumenta Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Aproximación de un número real 5 En lasoperacionesconnúmeros reales,es importantedesarrollarlascon suexpresión decimalaproximada, lacualpuede serobtenidapor truncamientoopor redondeo. Métodosde aproximación Enel truncamiento seeliminan lascifrasapartirdeunvalorposicionaldefinido. En el redondeo , si el dígito siguiente al del valor posicional al que se quiere redondearesmenorque5, sehace truncamientodelnúmero; siesmayoro igual que5, seadicionaunaunidadaldígitodelvalorposicionalalque se redondea. Ejemplo8 Aproximaelnúmero17,692a losdécimos,por truncamientoypor redondeo. Solución Por truncamiento:17,692 ≈ 17,6, seeliminan lascifrasdecimalesque siguen. Por redondeo: 17,692 ≈ 17,7, como 9 > 5 (9 sigue a los décimos), 6 incrementa enuno. A consecuenciade la aproximación, surgen errores al comparar la cantidadoriginal con laaproximada. Errorabsoluto ( E a )es ladiferenciaentreelvalorexactoyelvaloraproximado. Error relativo ( E r ) es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto del número. Ejemplo9 La tabla adjunta muestra los tiempos de llegada de los cuatro primeros lugares de una carrera de autos. Calcula loserroresabsolutoy relativoalaproximara las diezmilésimasel tiempoenque llegóVera. Solución Hallamosel tiempodeVeraenhoras: 1 59 60 45 3600 479 240 + + = ≈ 1,9958333… Calculamoselerrorabsoluto: E a = − = 479 240 19958 10000 0,00003 Hallamoselerror relativo: E r = ÷ 0,00003 479 240 ≈ 0,000017 1. Trunca a los décimos los datos de la tabla del ejemplo 9 y calcula los errores absoluto y relativo para cadacaso. Sino se indicael tipode aproximación, seentiende queespor redondeo. ¿Enquécasosconviene truncaren lugarde redondear,yviceversa? ¿Porqué? Pilotos Tiempos Haro 1h59min29 s Roca 1h59min36 s Pino 1h59min43 s Vera 1h59min45 s C2201_R80183_PEMatNS_Mat_04_Texto_[Tm2Tx_2]_017.indd 16 10/11/17 9:16 101 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 B D A C x α 9cm 6cm 10cm B D A x C E α α θ θ 15cm 20cm 28cm B D A x C α α 6cm 10cm 14cm B a D A E b C β β α α 12u 18u 15u Tema Teorema de las bisectrices El teorema de la bisectriz enuncia que las bisectrices internas y externas de un ángulo en un triángulo cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los ladosadyacentesadichoángulo. Esdecir, labisectriz internadelángulo BAC cor- ta a BC en D y, la bisectriz externa, a la exten- siónde BC en E , talque: BD DC AB AC BE EC AB AC = ∧ = Demostración: En la figura se puede ver que 2 α + 2 β = 180° y,por tanto, α + β = 90°. Es decir, las bisectrices internayexterna sonperpendiculares. La recta PQ esparalela a AC ym ∠ CAD =m ∠ APB = α , yaque son alternos internos. Comom ∠ BAD = α ,concluimosque △ ABP es isóscelesy AB = BP . Análogamente,m ∠ BQA =m ∠ QAR =m ∠ QAB = β . Por tanto, △ QBA es isóscelesy AB = BQ . Los triángulos BDP y CDA son semejantes: = = BD DC BP AC AB AC Igualmente, los triángulos BEQ y CEA son semejantes: = = BE EC BQ AC AB AC Ejemplo25 En la figurahallaelvalorde a + b . Solución Porbisectriz interior: 15 12 18 6 AE EC BA BC a a a = → − = → = Porbisectrizexterior: = → + = → = 15 12 18 30 DA DC BA BC b b b Entonces,elvalorde a + b =6+30=36u. 9 A R C P D B E Q α α β β Para practicar 1. Hallaelvalorde x . a. b. c. Si se trazan labisectriz interior QS y labisectriz exterior QT ,calcula TR enun triángulo PQR .Se sabeque: PS =18cm, SR =24cm, PQ =30cmy QR =40cm Aplica Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas112-115. 09_M4U4TE.indd 101 10/11/17 10:33 118 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Importante Tema Ecuaciones cuadráticas Existen situaciones relacionadas con cantidades que adquieren valores máximos y mínimos, los cuales pueden modelarse algebraicamente a través de ecuaciones cuadráticasoecuacionesde segundogrado. Las ecuacionescuadráticas sonaquellascuyomáximoexponentede la incógnita es2.Puedenexistirecuacionescompletasyecuaciones incompletas: Completa: ax 2 + bx + c =0 Incompletas: ax 2 + bx =0 ∧ ax 2 + c =0 Resolución por factorización La factorización que se aplicará depende de la clase de ecuación, si es completa o incompleta. Clasedeecuación Casode factorización Ejemplos Completa Aspa simple 2 x 2 +5 x –12=0 → (2 x –3)( x +4)=0 2 x –3=0 ∨ x +4=0 x = 3 2 ∨ x =–4 C.S.= {–4; 3 2 } Incompleta sin término lineal Diferencia decuadrados x 2 –81=0 → ( x +9)( x –9)=0 x +9=0 ∨ x –9=0 x =–9 ∨ x =9 C.S.= {–9;9} Incompleta sin término independiente Factorcomún monomio 3 x 2 –15 x =0 → 3 x ( x –5)=0 x =0 ∨ x –5=0 x =0 ∨ x =5 C.S.= {0;5} Ejemplo10 Un terreno tieneuna forma rectangular talque su largoes4mmayorqueelancho. Sieláreadel terrenoes96m 2 , ¿cuáles son lasdimensionesdel terreno? Solución Representamos lasdimensionesdel terreno: Ancho: x Largo: x +4 Comoeláreadeun rectánguloes largoporancho: x ( x +4)=96 Efectuamos: x 2 +4 x –96=0 → ( x +12) ( x –8)=0 x = − 12 ∨ x =8 Lasdimensionesdel terreno son8y12. 4 Si laecuación ax 2 + bx + c =0 tienepor raíces x 1 y x 2 ,entonces: x 1 + x 2 = b a – x 1 · x 2 = c a Verificaelejemplode la ecuacióncompleta. Importante Cuandoelpolinomio cuadráticoque tiene la forma ax 2 + bx + c con a ≠ 0y a , b y c ∈ ℝ se igualaacero, sedenomina ecuaciónpolinomialde segundogrado. 11/9/17 5:11PM 26 Para practicar Importante Lima Ica Ilo Tacna 0 10 20 30 40 30 24 36 27 4.°A 4.°B 4.°C 4.°D 4.°E 20% 22% 18% 24% 16% 0 10 20 30 40 Años 20142015201620172018 Hombres Mujeres Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Población, muestra y variable 12 La estadística se encarga de recopilar, organizar y procesar un conjunto de datos (correspondientes a sujetosuobjetos), con la finalidaddeobtener conclusionesde ellosy tomardecisiones.En laestadística, son frecuentes los siguientes términos: Población La población eselconjuntode todos los individuos,condeterminadascaracterísticas encomún,delcual sevanaobtener losdatosparaundeterminadoestudio. Muestra La muestra esun subconjunto representativode lapoblación (personasuobjetos), sobre el cual se estudia una determinada característica, y cuyos resultados serán válidosyaplicablesa toda lapoblación. Variable La variable es una característica de lapoblación que interesa ser investigada y que puede tomarvariosvalores.Según susvalores, seclasificade la siguientemanera: Variablecuantitativa Variablecualitativa Asociadaamedicionesyconteos.Los tipos devariablecuantitativa son: • Discreta.Siesproductodeconteo.Por ejemplo,elnúmerodehijos. • Continua.Siesproductodemediciones. Porejemplo, lasestaturasdeungrupo deestudiantes. Asociadaaunatributoocualidad.Los tipos devariablescualitativas son: • Ordinal.Siexpresaunordeno jerarquía. Porejemplo,elnivel socioeconómico. • Nominal.Sinoexpresa jerarquíao posición.Porejemplo, laprofesiónde ungrupodepersonas. Ejemplo21 Dada la situación, identifica la población, la muestra, la variable y a qué tipo corresponde. Enun terrenodecultivohay180000naranjos.Paradeterminarelniveldeefectode unanuevamarcade fertilizante,este seaplicóa1000deellos. Solución Población:180000naranjos Muestra:1000naranjos Variable:niveldeefectodel fertilizante Tipodevariable:cualitativaordinal 1. Clasifica lasvariables según seannominales,ordinales,discretasocontinuas. a. Tipode trabajo b. Gradode instrucción c. Estatura d. Númerodemiembrosdeuna familia e. Preciodeartículosparaelhogar f. NúmerodeDNI Gráficosestadísticos: • Debarras • Circularode sectores • Lineal C2201_R80188_PEMatNS_Mat_04_Texto_[Tm2Tx_1]_026.indd 26 10/11/17 9:22 Texto que motiva el estudio del tema Situación desarrollada que acompaña los saberes aprendidos Cantidad Desarrollarás tus nociones numéricas. Forma, movimiento y localización Desarrollarás tus nociones espaciales. Definición de saberes matemáticos Actividades que complementan el desarrollo del tema