Construye Matemática 2 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 3 Competencias matemáticas Abordarás contenidos a lo largo del libro que te permitirán afianzar tus competencias. Regularidad, equivalencia y cambio Interpretarás y generalizarás patrones. Gestión de datos e incertidumbre Recopilarás y procesarás datos. 34 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Tema Conjunto de los números racionales Hay situaciones cotidianasqueno sepueden representar connúmeros enteros.Por ello, surge la necesidad de recurrir a otro tipo de números: los números racionales. Estos números te serán útiles, por ejemplo, para expresar medidas, precios y temperaturas,etc. Unnúmero racionalesuna fracción y todas susequivalencias.El conjuntode los números racionales se simbolizapor: a b a b b / , , 0 = ∈ ≠   Así: 9 4 − representaaunnúmero racionalporque–9 ∈ ℤ ;4 ∈ ℤ y4≠0. Ejemplo1 Determina si los siguientesnúmeros son racionales: a. –2,25 b.  0,6 − Solución Veamos sidichosnúmeros sepuedenexpresarcomococientededosenteros. a. Expresamoscomo fraccióndecimaly simplificamos: 2,25 225 100 9 4 9 4 9 4 − =− =− = − = − b. Hallamos la fraccióngeneratrizde  0,6 − : 0,6 6 9 2 3 2 3  − =− = − = − Concluimos,por ladefinición,queambosnúmeros son racionales. Representación de un número racional en la recta numérica Para representaruna fracción a b en la rectanuméricadividimos,cada segmentouni- tarioen b segmentosde igual longitudydesde0contamosa segmentos. Ejemplo2 Determina laubicaciónde las fracciones 6 4 y 7 4 . Solución Alobservar la rectaconcluimosqueambas fracciones seencuentranentre1y2. 1 Recuerda Losnúmerosnaturalesestán incluidosen losnúmeros enteros,y losenteros,en los números racionales. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ℕ ℤ ℚ –1 0 1 4 2 4 3 4 1 2 0 1 6 4 7 4 2 172 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 6 5 4 3 2 1 –12–11–10–9–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 Y X B (–12;4) C (–9;6) D (–6;4) E (–7;1) A (–11;1) 0 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –12–11–10–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y X B (–12;4) C (–9;6) D (–6;4) E (–7;1) A (–11;1) A' E' B' D' C' O O 60° Figura A’ Figura A P P' Tema Transformaciones en el plano 7 Sonmovimientosenelplanocartesianoque se realizanauna figura (preimagen),de talmodoqueesta sedesplaza sincambiar su forma, susángulos ydimensiones.A la figuraobtenidadespuésde la transformaciónenelplanose leconocecomo imagen. Entreellas tenemos: las traslaciones, rotacionesogirosy las reflexioneso simetrías. Traslación Esuna isometríaenelespacio talqueacadapunto P deuna figura lecorrespondeotro punto P ’ yeste sedesplaza siguiendo la trayectoria indicadaporunvector  v ( x ; y ). Ejemplo20 Traslada la regiónpoligonal mostradaen la figura, segúnel vector  v (14;–3). Solución Ubicamos la abscisa de cada vértice y la trasladamos 14 unidades a la derecha (sumar 14) y la ordenada la trasladamos 3 unidades hacia abajo (restar 3). Luego, unimos losvérticesque resultandeldesplazamiento. Rotación Eselmovimientoquesehaceauna figuraalgirarlasegún lamedidadecierto ángulo alrededordeunpunto llamado centrode rotación . Ejemplo21 La figuradelmargen es el resultadodeuna rotación, en sentido antihorario,de la figura A respectoalcentro O .Calcula lamedidadelángulodegiro. Solución Ubicamos un punto de la figura inicial y el punto correspondiente en la imagen. Denotamosestospuntoscon P y P ’, respectivamente. Trazamoselángulode rotación ∠ POP ’y lomedimosusandoun transportador. Deacuerdocon lamedición,elánguloes60°. Vocabulario académico Isometría: palabraderivada delprefijogriego isos ,que significa igual,y métrico , que significamedida.Un objetoo figurapresenta una isometría simantiene susmedidas. Vértice Coordenada A ' (–11+14;1–3) = (3;–2) B ' (–12+14;4–3) = (2;1) C ' (–9+14;6–3) = (5;3) D ' (–6+14;4–3) = (8;1) E ' (–7+14;1–3) = (7;–2) 115 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar a x x b x +5 y +2 a x –7 y –3 a Tema Producto de dos binomios con término común Consideremosun rectángulode lados ( x + a ) y ( x + b ),divididoen4partes como se muestraen la figuradelmargen,ycalculemossuáreadedos formas:multiplicandosu baseyalturacorrespondientes,ysumando lasáreasde las4 figurasque locomponen. Deacuerdoconesta representacióngráfica, tenemos: ( x + a )( x + b )= ( x )( x )+ ( a )( x )+ ( x )( b )+ ( a )( b ) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + ( a + b ) x + ab El producto de dos binomios con término común es igual al cuadrado del término común,más la suma de los términos no comunesmultiplicada por el términocomún,máselproductode los términosnocomunes. ( x + a )( x + b )= x 2 + ( a + b ) x + ab Ejemplo6 Hallaeldesarrollode (2 x 2 +5)(2 x 2 –3). Solución El términocomúnde losbinomioses2 x 2 .Entonces,aplicamoselproducto: (2 x 2 +5)(2 x 2 –3)= (2 x 2 ) 2 + (5–3)(2 x 2 )+ (5)(–3) = (2) 2 ( x 2 ) 2 +2(2 x 2 )+ (–15) =4 x 4 +4 x 2 –15 Ejemplo7 Hallaeldesarrollode (4 n –7)(4 n –5). Solución El términocomúnde losbinomioses4 n .Entonces,aplicamoselproducto: (4 n –7)(4 n –5)= (4 n ) 2 + (–7–5)(4 n )+ (–7)(–5) = (4) 2 ( n ) 2 + (–12)(4 n )+ (35) =16 n 2 –48 n +35 1. Efectúa las siguientesmultiplicaciones: a. ( x +5)( x +3) b. ( n +2)( n –7) c. ( y 2 –2)( y 2 –8) d. ( xy +4)( xy –9) e. ( ab +5)( ab +12) f. ( mn –3)( mn –10) g. ( p 2 q –1)( p 2 q+ 2) h. ( x 3 y 6 +2)( x 3 y 6 –3) 2. Hallaeláreadecada rectángulo. a. b. 4 Argumenta Parahallarelvalorde M =393×386–3892, Jaime realizóel siguiente procedimiento: Hacemos x =389 Entonces: M = ( x +4)( x –3)– x 2 M = x 2 + x –12– x 2 M = x –12 M =389–12=377 ¿Escorrecta su resolución? Justifica tu respuesta. Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas127-128. 27 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Puntajeen juegodedardos 0 10 40 70 100 130 160 2 4 6 Frecuencia Puntaje 8 10 12 Puntajeen juegodedardos Frecuencia 12 10 8 6 4 2 0 10 40 70 100 130 Puntaje 160 Histogramas Seconstruyencon rectángulos,de talmaneraqueelcentrodesusbasescoincida con lasmarcasdeclase.Elanchode los rectánguloses la longitudde los intervalos y sualturaes la frecuenciade laclaseque representan. Ejemplo29 La tablade frecuenciasdelmargenpresentaelnúmerodeaciertosenun juegode tiroalblanco.Representaestosdatosenunhistograma. Solución La base del primer rectángulo del histograma será el intervalo [10; 40[, y su altura será 7. Para el segundo rectángulo, la base será el intervalo [40; 70[, y su altura, 2. Continuamos así hasta el quinto intervalo,yobtenemoselsiguientegráfico: Polígonos de frecuencias Es la líneapoligonalqueseobtienealunir lospuntosmediosdel ladosuperiorde cada rectángulodelhistogramacorrespondiente. Ejemplo30 Trazaelpolígonode frecuenciascorrespondientealejemploanterior. Solución Para construirunpolígonode frecuencias, seunen lospuntosmediosde los lados superiores de las barras del histograma. Para cerrarlo, agregamos dos puntos en lasmarcas de clase de dos intervalos: uno al comienzo y otro al final (ambos con frecuenciascero).Lagráfica semuestraenelmargen. 1. Observa losdatosorganizadosen la tabla sobre el salariomensualdeungrupode trabajadoresy realiza lo indicado. a. Representa losdatosmedianteunhistograma. b. Trazaelpolígonode frecuencias correspondiente. Salario (dólares) Númerode trabajadores [100;110[ 40 [110;120[ 25 [120;130[ 30 [130;140[ 13 [140;150[ 15 [150;160] 15 Puntajeen juego dedardos Puntaje Frecuencia [10-40[ 7 [40-70[ 2 [70-100[ 11 [100-130[ 4 [130-160] 9 Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas26-27. Texto que motiva el estudio del tema Situación desarrollada que acompaña los saberes aprendidos Cantidad Desarrollarás tus nociones numéricas. Forma, movimiento y localización Desarrollarás tus nociones espaciales. Definición de saberes matemáticos Actividades que complementan el desarrollo del tema