Construye Matemática 1 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 3 Competencias matemáticas Abordarás contenidos a lo largo del libro que te permitirán afianzar tus competencias. Regularidad, equivalencia y cambio Interpretarás y generalizarás patrones. Gestión de datos e incertidumbre Recopilarás y procesarás datos. 112 Recuerda Vocabulario académico –10 + 70 + 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 –10 + 70 – 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 –100–90 –80 –70 –60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 – 30 – 70 –80 –70 –60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 + 30 – 70 Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Adición y sustracción de enteros Un ciclistaentrenadurante cuatrodías sobre terreno llano,ehizoun recorrido sobre una autopista recta.En la tabla aparecen los recorridosque realizó cadadía saliendo desde sucasa. ¿Aquédistanciade la casa yenquédirecciónquedóubicadoel ciclistadespuésde terminar,cadadía, su recorrido? Elprimerdíaquedóa100 kmalestede sucasa: (+70)+ (+30)=+100 El segundodíaquedóa40 kmalestede sucasa: (+70)+ (–30)=+40 El tercerdíaquedóa40 kmaloestede sucasa: ( − 70)+ (+30)= − 40 Elcuartodíaquedóa100 kmaloestede sucasa: ( − 70)+ ( − 30)= − 100 Adiciónde números enteros Cuando los dos sumandos son números enteros de igual signo, se suman sus valoresabsolutosy secolocaal resultadoel signode los sumandos. Cuando losdos sumandos sonnúmerosenterosdediferente signo, se restan sus valores absolutos y se coloca al resultado el signodel númeroque tienemayor valorabsoluto. Ejemplo2 Calcula loque sepideenel siguientecaso: (+39)+ (–98) Solución: Como los números tienen signos diferentes restamos sus valores absolutos y su signo será negativo, porque el entero con mayor valor absoluto es negativo: (+39)+ ( − 98)= − (98–39)= − 59 3 El valorabsoluto deun númeroes ladistanciaque haydeestenúmeroacero. Losnúmerosenteros los podemos representar en la rectanumérica considerando ladirección estecomopositivay la direcciónoestecomo negativa. Día Recorrido Primero Recorrió70 kmhaciaeleste,descansóunmomento,y luego recorrió 30 kmmásen lamismadirección. Segundo Recorrió70 kmhaciaelestey regresó30 kmpor lamismaautopista. Tercero Recorrió70 kmhaciaeloestey regresó30 kmpor lamismaautopista. Cuarto Recorrió70 kmhaciaeloeste,descansóunmomento,y luego recorrió30 kmmásen lamismadirección. C2201_R83865_PEMatNS_Mat_01_Texto_[Tm1Tx_1]_112.indd 112 174 Vocabulario académico a b b b a a 10cm 10cm 10cm 5cm 5cm Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Áreas de polígonos regulares Como un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y todos sus ángulos interiores congruentes,podemosdescomponerlo en tantos triángulos congruentes como lados tenga el polígono. Por consiguiente, su área es igual a la suma de las áreasde los triángulosque lo forman. Si dividimos un polígono regular en triángulos isósceles congruentes, la altura de cada triángulo desde el centro del polígono recibe el nombre de apotema del polígono regular. × = × × 2 2 P a n b a El áreadeuna regiónpoligonal regular de n ladosde longitud b sepuedehallar mediante la siguiente fórmula: Área= × = × × 2 2 P ap n b a Donde n :númerode ladosdelpolígono; a :apotema; P :perímetrodelpolígono; b : longituddel ladodelpolígonoobasede lostriángulosque locomponen. Ejemplo20 Carlos prepara unas piezas de cerámica para hacer un mosaico. Para ello, hizo unosmoldes como losque seobservan en elmargen; en los cuales formapiezas hexagonalescuyos ladosdebenmedir10cm. Solución En el molde de la pieza observamos seis triángulos equiláteros que forman el hexágono regular,cuyabasemide10cm. Para calcular la altura de cada triángulo que compone el hexágono, aplicamos el teoremadePitágoras.Representamoscon a laalturadel triángulo. a 2 + (5cm) 2 = (10cm) 2 → a 2 +25cm 2 =100cm 2 → a 2 =75cm 2 a = 75cm 2 → a=8,66cm Con lasmedidasde labasey laaltura,calculamoseláreadeunode los triángulos: Áreadel triángulo= = (10cm)(8,66cm) 2 86,6 2 cm 2 =43,3cm 2 Como el hexágono regular está compuesto por seis triángulos de igual área, entonceseláreadelhexágonoesA=6 × 43,3cm 2 =259,8cm 2 . Eláreadecadapiezadecerámicaesde259,8cm 2 . 9 La apotema deunpolígono regulares igualal radiode lacircunferencia inscritao la alturadel triánguloenque sedescomponeelpolígono. 150 Anota Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Magnitudes inversamente proporcionales Si representamos con A y B los valores correspondientes de dos magnitudes relacionadas inversamente y existe una constante k , diferente de 0, tal que se satisface larelación A × B = k ,afirmamosque lasdosmagnitudesson inversamente proporcionales (IP). Laconstante k sedenominaconstantedeproporcionalidad. Otra situaciónque sepuedepresentarentredosmagnitudes relacionadasesqueel productodevalorescorrespondientes sea igualaunaconstante. Magnitudes inversamenteproporcionales Miguel investigóqueunaembarcación similarauna canoapuede serhechapor5 trabajadoresen8días, y registraestedato. ¿Cómo se relacionan la cantidad de trabajadores que arman una embarcación y el número de días queemplearán? A medida que aumenta el número de trabajadores para hacer una embarcación, disminuye el número de días que necesitarán para construirlo; y delmismomodo, si se disminuye el número de trabajadores, se incrementa la cantidad de días que se empleará para hacer una embarcación. Además, el producto de los valores correspondientesdecadamagnitud. 1 × 40=40;2 × 20=40;4 × 10=40;5 × 8=40;… El producto de los valores correspondientes entre las dosmagnitudes es un valor constante,enestecasoes iguala40. Ejemplo23 La tabla muestra el número de máquinas que seempleanparaconfeccionarun lotede zapatosyeltiemponecesarioparadichatarea. ¿Cuántashoras tardarán10 y20máquinasen confeccionarel lotede zapatos? Solución Observamosque lasmagnitudes son IP. Calculamos laconstantedeproporcionalidad inversa:8 × 10=80;4 × 20=80; 16 × 5=80. Entonces,unmáquinademora80horasen realizar lamismaconfección. Calculamosel tiempoempleado:80÷10=8 ;80÷20=4. 9 Sean A y B magnitudes talesque A aumentay B , disminuye,peronoen lamismaproporción; entonces, A y B no son magnitudes inversamente proporcionales. Númerode trabajadores 1 2 4 5 8 10 Númerodedías 40 20 10 8 5 4 Númerode máquinas 8 4 16 Tiempo (h) 10 20 5 C2201_R83306_PEMatNS_Mat_01_Texto_[Tm1Tx_1]_150.indd 150 9/26/17 11:32AM 77 Para practicar Anota Estaturadeestudiantes Estaturadeestudiantes 140 140 147,5 147,5 155 155 162,5 162,5 170 170 Frecuencia Frecuencia Estatura (cm) Estatura (cm) 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 40 60 80 100 Frecuencia Calificación 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Pesode40estudiantes 36 57 50 43 71 64 Estudiantes Peso (kg) 15 10 5 0 Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Histograma y polígono de frecuencias Un histograma es un tipo de gráfico utilizadopara representar datos agrupados en intervalos yde él sedesprende elpolígonode frecuenciasque tiene como vértices lasmarcasdeclasedecada intervalo, loscualesunirácon segmentosde recta. Para laconstruccióndeambosgráficosdebemosconsiderar lo siguiente: Ejemplo21 El histograma muestra los puntajes obtenidos por los estudiantes en una pruebade idiomas.Aquellosque consigan una calificación mayor o igual que 80 puntos aprueban el curso y los demás deberán rendir un segundo examen. ¿Cuántos estudiantes deben rendir un segundoexamen? Solución Observamos que de los 30 estudiantes del curso, 16 obtuvieron una calificación igual omayor que 80; así que aprobaron el curso. Los demás, 14 estudiantes en total,deben rendirun segundoexamen. 1. Observaelhistogramay responde. a. ¿Cuántosestudiantes tienenpesosmayoreso igualesque57kg? b. ¿Cuántos estudiantes tienen pesosmayores o igualesque43kg,peromenoresque64kg? 14 [140;147,5[esel intervalo alquepertenecen todos losnúmerosmayoreso igualesa140ymenoresque 147,5.Esoquieredecirque elnúmero140 sípertenece adicho intervalo,mientras que147,5no. Histograma Polígonode frecuencias Para cada intervalo se construye una barra rectangular cuya altura esproporcional a la frecuenciamostrada. Se señala en la parte superior de cada barra rectangular el puntomedio de cada intervalo Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas86-87. C2201_R80200_PEMatNS_Mat_01_Texto_[Tm2Tx_2]_077.indd 77 9/26/17 11:27AM Texto que motiva el estudio del tema Situación desarrollada que acompaña los saberes aprendidos Cantidad Desarrollarás tus nociones numéricas. Forma, movimiento y localización Desarrollarás tus nociones espaciales. Definición de saberes matemáticos Actividades que complementan el desarrollo del tema